Ley cero-uno de Kolmogorov

En la teoría de la probabilidad , la ley cero-uno de Kolmogorov , nombrada en honor a Andrey Nikolaevich Kolmogorov , especifica que un cierto tipo de evento , llamado evento de cola , ocurrirá casi con seguridad o casi seguramente no ocurrirá; es decir, la probabilidad de que ocurra tal evento es cero o uno.

Los eventos de cola se definen en términos de secuencias infinitas de variables aleatorias . Suponer

{\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ dots}

es una secuencia infinita de variables aleatorias independientes (no necesariamente distribuidas de manera idéntica). Dejar ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ser la σ-álgebra generada por el ${\ Displaystyle X_ {i}}$ . Entonces, un evento de cola ${\ Displaystyle F \ in {\ mathcal {F}}}$ es un evento que es probabilísticamente independiente de cada subconjunto finito de estas variables aleatorias. (Nota: ${\ Displaystyle F}$ perteneciendo a ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ implica que la pertenencia a ${\ Displaystyle F}$ está determinado únicamente por los valores de la ${\ Displaystyle X_ {i}}$ pero la última condición es estrictamente más débil y no es suficiente para probar la ley cero-uno). Por ejemplo, el evento de que la secuencia converja y el evento de que su suma converja son ambos eventos de cola. En una secuencia infinita de lanzamientos de monedas, una secuencia de 100 caras consecutivas que ocurren infinitas veces es un evento de cola.

Los eventos de cola son precisamente aquellos eventos cuya ocurrencia aún se puede determinar si un segmento inicial arbitrariamente grande pero finito del ${\ Displaystyle X_ {i}}$ es removido.

En muchas situaciones, puede ser fácil aplicar la ley cero-uno de Kolmogorov para mostrar que algún evento tiene probabilidad 0 o 1, pero sorprendentemente es difícil determinar cuál de estos dos valores extremos es el correcto.

Formulación

Un enunciado más general de la ley cero-uno de Kolmogorov es válido para secuencias de σ-álgebras independientes. Sea (Ω, F , P ) un espacio de probabilidad y dejar que F _n sea una secuencia de sigma-álgebras mutuamente independientes contenidas en F . Dejar

{\ Displaystyle G_ {n} = \ sigma {\ bigg (} \ bigcup _ {k = n} ^ {\ infty} F_ {k} {\ bigg)}}

ser la σ-álgebra más pequeña que contenga F _n , F _{n +1} ,…. Luego, la ley cero-uno de Kolmogorov afirma que para cualquier evento

{\ Displaystyle F \ in \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} G_ {n}}

uno tiene P ( F ) = 0 o 1.

El enunciado de la ley en términos de variables aleatorias se obtiene a partir de esta última tomando cada F _n como el σ-álgebra generado por la variable aleatoria X _n . Un evento de cola es entonces, por definición, un evento que es medible con respecto al σ-álgebra generada por todo X _n , pero que es independiente de cualquier número finito de X _n . Es decir, un evento de cola es precisamente un elemento de la intersección ${\ Displaystyle \ textstyle {\ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} G_ {n}}}$ .

Ejemplos

Una transformación invertible que conserva la medida en un espacio de probabilidad estándar que obedece a la ley 0-1 se denomina automorfismo de Kolmogorov . ^{[ aclaración necesaria ]} Todos los automorfismos de Bernoulli son automorfismos de Kolmogorov, pero no al revés .

Ver también

Referencias

Stroock, Daniel (1999). Teoría de la probabilidad: una visión analítica (ed. Revisada). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-66349-6..
Brzezniak, Zdzislaw; Zastawniak, Thomasz (2000). Procesos estocásticos básicos . Springer . ISBN 3-540-76175-6.
Rosenthal, Jeffrey S. (2006). Un primer vistazo a la rigurosa teoría de la probabilidad . Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. p. 37 . ISBN 978-981-270-371-2.

Enlaces externos

El legado de Andrei Nikolaevich Kolmogorov Curriculum Vitae y biografía. Escuela Kolmogorov. Doctor. estudiantes y descendientes de AN Kolmogorov. AN Kolmogorov obras, libros, trabajos, artículos. Fotografías y retratos de AN Kolmogorov.