En matemáticas , específicamente en la teoría de los procesos estocásticos , los teoremas de convergencia de la martingala de Doob son una colección de resultados sobre los límites de las supermartingalas , que llevan el nombre del matemático estadounidense Joseph L. Doob . [1] De manera informal, el teorema de convergencia de martingala se refiere típicamente al resultado de que cualquier supermartingala que satisfaga una determinada condición de delimitación debe converger. Se puede pensar en las supermartingales como las variables aleatorias análogas de secuencias no crecientes; Desde esta perspectiva, el teorema de convergencia martingala es una variable aleatoria análoga de lateorema de la convergencia monótona , que establece que cualquier secuencia monótona acotada converge. Hay resultados simétricos para submartingales, que son análogos a las secuencias no decrecientes.
Declaración para martingalas de tiempo discreto
Una formulación común del teorema de convergencia de martingalas para martingalas de tiempo discreto es la siguiente. Dejarser una supermartingala. Supongamos que la supermartingala está limitada en el sentido de que
dónde es la parte negativa de , definido por . Entonces la secuencia converge casi con seguridad a una variable aleatoria con expectativa finita.
Hay una declaración simétrica para submartingales con expectativa limitada de la parte positiva. Una supermartingala es un análogo estocástico de una secuencia no creciente, y la condición del teorema es análoga a la condición en el teorema de convergencia monótona de que la secuencia esté acotada desde abajo. La condición de que la martingala esté acotada es esencial; por ejemplo, un imparcial La caminata aleatoria es una martingala pero no converge.
Como intuición, hay dos razones por las que una secuencia puede no converger. Puede ir al infinito o puede oscilar. La condición de delimitación evita que suceda lo primero. Esto último es imposible con un argumento de "juego". Específicamente, considere un juego del mercado de valores en el que en el momento, la acción tiene precio . No existe una estrategia para comprar y vender acciones a lo largo del tiempo, siempre manteniendo una cantidad no negativa de acciones, que tiene una ganancia esperada positiva en este juego. La razón es que en cada momento el cambio esperado en el precio de las acciones, dada toda la información pasada, es como máximo cero (por definición de supermartingala). Pero si los precios oscilaran sin converger, entonces habría una estrategia con beneficios esperados positivos: libremente, comprar barato y vender caro. Este argumento puede hacerse riguroso para probar el resultado.
Boceto de prueba
La prueba se simplifica haciendo la suposición (más fuerte) de que la supermartingala está uniformemente acotada; es decir, hay una constante tal que siempre aguanta. En el caso de que la secuencia no converge, entonces y diferir de. Si también la secuencia está acotada, entonces hay algunos números reales y tal que y la secuencia cruza el intervalo infinitamente a menudo. Es decir, la secuencia es eventualmente menor que, y en un momento posterior excede , e incluso en un momento posterior es menos de y así hasta el infinito. Estos períodos donde la secuencia comienza a continuación y luego excede se denominan "cruces ascendentes".
Considere un juego del mercado de valores en el que en el momento , uno puede comprar o vender acciones al precio . Por un lado, se puede demostrar a partir de la definición de supermartingala que para cualquier No existe una estrategia que mantenga una cantidad no negativa de acciones y tenga una ganancia esperada positiva después de jugar este juego durante pasos. Por otro lado, si los precios cruzan un intervalo fijo muy a menudo, la siguiente estrategia parece funcionar bien: compre las acciones cuando el precio baje por debajo de y venderlo cuando el precio supere . De hecho, si es el número de cruces ascendentes en la secuencia por tiempo , luego la ganancia en el momento Por lo menos : cada cruce proporciona al menos beneficio, y si la última acción fue una "compra", entonces, en el peor de los casos, el precio de compra fue y el precio actual es . Pero cualquier estrategia ha esperado obtener beneficios como máximo, tan necesariamente
Según el teorema de la convergencia monótona para las expectativas , esto significa que
por lo que el número esperado de cruces ascendentes en toda la secuencia es finito. De ello se deduce que el evento de cruce infinito para el intervalo ocurre con probabilidad . Por una unión ligada a todo lo racional y , con probabilidad , no existe ningún intervalo que se cruce infinitamente a menudo. Si por todos Hay un número finito de cruces ascendentes de intervalo. , entonces el límite inferior y el límite superior de la secuencia deben coincidir, por lo que la secuencia debe converger. Esto muestra que la martingala converge con la probabilidad..
Fallo de convergencia en la media
Bajo las condiciones del teorema de convergencia de martingala dadas anteriormente, no es necesariamente cierto que la supermartingala converge en la media (es decir, que ).
Como ejemplo, [2] deje ser un caminar al azar con . Dejar ser la primera vez que , y deja ser el proceso estocástico definido por . Luegoes un tiempo de parada con respecto a la martingala, entonces también es una martingala, conocida como martingala parada . En particular, es una supermartingala que está limitada por debajo, por lo que según el teorema de convergencia de martingala converge puntualmente casi con seguridad a una variable aleatoria . Pero si luego , entonces es casi seguro que cero.
Esto significa que . Sin emabargo, para cada , desde es una caminata aleatoria que comienza en y posteriormente realiza movimientos de media cero (alternativamente, tenga en cuenta que desde es una martingala). Por lo tanto no puede converger a en la media. Además, si fueran a converger en la media a cualquier variable aleatoria , luego alguna subsecuencia converge acasi seguro. Entonces, por el argumento anterior casi con seguridad, lo que contradice la convergencia en la media.
Declaraciones para el caso general
En el siguiente, será un espacio de probabilidad filtrado donde, y será una supermartingala continua correcta con respecto a la filtración; en otras palabras, para todos,
El primer teorema de convergencia de martingala de Doob
El primer teorema de convergencia de martingala de Doob proporciona una condición suficiente para las variables aleatorias tener un límite como en un sentido puntual, es decir, para cada en el espacio muestral individualmente.
Para , dejar y supongamos que
Entonces el límite puntual
existe y es finito para - casi todos . [3]
Segundo teorema de convergencia de martingala de Doob
Es importante señalar que la convergencia en el primer teorema de convergencia martingala de Doob es puntual, no uniforme y no está relacionada con la convergencia en el cuadrado medio, o de hecho en cualquier espacio L p . Para obtener la convergencia en L 1 (es decir, la convergencia en la media ), se requiere una integrabilidad uniforme de las variables aleatorias. Según la desigualdad de Chebyshev , la convergencia en L 1 implica la convergencia en la probabilidad y la convergencia en la distribución.
Los siguientes son equivalentes:
- es uniformemente integrable , es decir
- existe una variable aleatoria integrable tal que como ambas cosas - casi seguro y en, es decir
La desigualdad cruzada de Doob
El siguiente resultado, llamado desigualdad de cruce ascendente de Doob o, a veces, lema de cruce ascendente de Doob , se utiliza para demostrar los teoremas de convergencia de martingala de Doob. [3] Un argumento de "juegos de azar" muestra que para las supermartingales delimitadas uniformemente, el número de cruces ascendentes está limitado; el lema del cruce hacia arriba generaliza este argumento a las supermartingales con expectativa limitada de sus partes negativas.
Dejar ser un número natural. Dejarser una supermartingala con respecto a una filtración . Dejar, ser dos números reales con . Definir las variables aleatorias así que eso es el número máximo de intervalos disjuntos con , tal que . Estos se denominan cruces ascendentes con respecto al intervalo.. Luego
Aplicaciones
Convergencia en L p
Dejar ser una martingala continua tal que
para algunos . Entonces existe una variable aleatoria tal que como ambas cosas -casi seguro y en .
La afirmación de las martingalas de tiempo discreto es esencialmente idéntica, con la diferencia obvia de que la suposición de continuidad ya no es necesaria.
Ley cero-uno de Lévy
Los teoremas de convergencia de la martingala de Doob implican que las expectativas condicionales también tienen una propiedad de convergencia.
Dejar ser un espacio de probabilidad y dejar ser una variable aleatoria en . Dejarser cualquier filtración dey definir ser el σ- álgebra mínima generada por. Luego
ambas cosas -casi seguro y en .
Este resultado se suele llamar ley cero uno de Lévy o teorema ascendente de Levy . La razón del nombre es que si es un evento en , entonces el teorema dice que casi con seguridad, es decir, el límite de las probabilidades es 0 o 1. En lenguaje sencillo, si estamos aprendiendo gradualmente toda la información que determina el resultado de un evento, entonces gradualmente tendremos certeza de cuál será el resultado. Esto suena casi como una tautología , pero el resultado aún no es trivial. Por ejemplo, implica fácilmente la ley cero-uno de Kolmogorov , ya que dice que para cualquier evento de cola A , debemos tener casi seguro, por lo tanto .
De manera similar, tenemos el teorema descendente de Levy :
Dejar ser un espacio de probabilidad y dejar ser una variable aleatoria en . Dejar ser cualquier secuencia decreciente de álgebras subsigmas de y definir para ser la intersección. Luego
ambas cosas -casi seguro y en .
Ver también
- Teorema de convergencia de martingala hacia atrás [6]
Referencias
- ^ Doob, JL (1953). Procesos estocásticos . Nueva York: Wiley.
- ^ Durrett, Rick (1996). Probabilidad: teoría y ejemplos (Segunda ed.). Prensa de Duxbury. ISBN 978-0-534-24318-0.; Durrett, Rick (2010). 4ª edición . ISBN 9781139491136.
- ^ a b "Teorema de convergencia martingala" (PDF) . Instituto de Tecnología de Massachusetts, 6.265 / 15.070J Conferencia 11-Material adicional, Procesos estocásticos avanzados, otoño de 2013, 9/10/2013 .
- ^ Bobrowski, Adam (2005). Análisis funcional para procesos estocásticos y de probabilidad: una introducción . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 113-114. ISBN 9781139443883.
- ^ Gushchin, AA (2014). "En contrapartes de trayectoria de las desigualdades máximas de Doob". Actas del Instituto de Matemáticas Steklov . 287 (287): 118-121. arXiv : 1410.8264 . doi : 10.1134 / S0081543814080070 .
- ^ Doob, Joseph L. (1994). Teoría de la medida . Textos de Posgrado en Matemáticas, Vol. 143. Springer. pag. 197. ISBN 9781461208778.
- Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (Ver Apéndice C)