En la teoría de campos de clases , el teorema de existencia de Takagi establece que para cualquier campo numérico K hay una inclusión uno a uno que invierte la correspondencia entre las extensiones abelianas finitas de K (en un cierre algebraico fijo de K ) y los grupos de clases ideales generalizados definidos a través de un módulo de K .
Se llama un teorema de existencia debido a que un mayor peso de la prueba es demostrar la existencia de suficientes extensiones abelianas de K .
Aquí, un módulo (o divisor de rayos ) es un producto finito formal de las valoraciones (también llamadas números primos o lugares ) de K con exponentes enteros positivos. Las valoraciones de Arquímedes que pueden aparecer en un módulo incluyen sólo aquellas cuyas terminaciones son los números reales (no los números complejos); pueden identificarse con ordenaciones en K y ocurren solo en el exponente uno.
El módulo m es un producto de un no-de Arquímedes (finito) parte m f y un Arquímedes (infinito) parte m ∞ . La no Arquímedes parte m f es un ideales distinto de cero en el anillo de los enteros O K de K y la parte de Arquímedes m ∞ es simplemente un conjunto de incrustaciones reales de K . Asociados a tal módulo m hay dos grupos de ideales fraccionarios . El más grande, I m , es el grupo de todos los ideales fraccionarios relativamente primos am(lo que significa que estos ideales fraccionarios no implican ningún ideal primo que aparezca en m f ). El más pequeño, P m , es el grupo de ideales fraccionarios principales ( u / v ) donde u y v son elementos distintos de cero de O K que son primos am f , u ≡ v mod m f , y u / v > 0 en cada uno de los ordenamientos de m ∞ . (Es importante aquí que en P m, todo lo que necesitamos es que algún generador del ideal tenga la forma indicada. Si uno lo hace, es posible que otros no. Por ejemplo, tomando K como los números racionales, el ideal (3) se encuentra en P 4 porque (3) = (−3) y −3 se ajusta a las condiciones necesarias. Pero (3) no está en P 4∞ ya que aquí se requiere que el positivo generador del ideal es 1 mod 4, que no es así.) Para cualquier grupo H que se extiende entre I m y P m , el cociente I m / H se denomina grupo de clases ideal generalizado .
Son estos grupos de clases ideales generalizados los que corresponden a las extensiones abelianas de K según el teorema de existencia y, de hecho, son los grupos de Galois de estas extensiones. Que los grupos de clases ideales generalizados son finitos se prueba siguiendo las mismas líneas de la demostración de que el grupo de clases ideal habitual es finito, mucho antes de saber que se trata de grupos de Galois de extensiones abelianas finitas del campo numérico.
Estrictamente hablando, la correspondencia entre las extensiones abelianas finitas de K y los grupos de clases ideales generalizados no es del todo uno a uno. Los grupos de clases ideales generalizados definidos en relación con diferentes módulos pueden dar lugar a la misma extensión abeliana de K , y esto está codificado a priori en una relación de equivalencia algo complicada sobre grupos de clases ideales generalizados.