En matemáticas , un teorema de existencia es un teorema que afirma la existencia de un determinado objeto. [1] [2] Puede ser un enunciado que comienza con la frase " existe (s) ", o puede ser un enunciado universal cuyo último cuantificador es existencial (por ejemplo, "para todo x , y , ... existen (s) ..."). En los términos formales de la lógica simbólica , un teorema de existencia es un teorema con una forma normal prenex que involucra al cuantificador existencial, aunque en la práctica, tales teoremas generalmente se enuncian en lenguaje matemático estándar. Por ejemplo, la afirmación de que la función seno es continua en todas partes, o cualquier teorema escrito en notación O grande , puede considerarse como teoremas existenciales por naturaleza, ya que la cuantificación se puede encontrar en las definiciones de los conceptos utilizados.
Una controversia que se remonta a principios del siglo XX se refiere a la cuestión de los teoremas de existencia puramente teóricos, es decir, teoremas que dependen de material fundacional no constructivo como el axioma del infinito , el axioma de la elección o la ley del medio excluido . Tales teoremas no proporcionan ninguna indicación sobre cómo construir (o exhibir) el objeto cuya existencia se pretende. Desde un punto de vista constructivista , tales enfoques no son viables ya que hacen que las matemáticas pierdan su aplicabilidad concreta, [3] mientras que el punto de vista opuesto es que los métodos abstractos son de gran alcance, [ se necesitan más explicaciones ] de una manera que el análisis numérico no puede serlo.
Resultados de existencia 'pura'
En matemáticas, un teorema de existencia es puramente teórico si la prueba que se le da no indica una construcción del objeto cuya existencia se afirma. Tal prueba no es constructiva, [4] ya que el enfoque completo puede no prestarse a la construcción. [5] En términos de algoritmos , los teoremas de existencia puramente teóricos eluden todos los algoritmos para encontrar lo que se afirma que existe. Estos deben contrastarse con los llamados teoremas de la existencia "constructiva", [6] que muchos matemáticos constructivistas que trabajan en lógicas extendidas (como la lógica intuicionista ) creen que son intrínsecamente más fuertes que sus contrapartes no constructivas.
A pesar de eso, los resultados de existencia puramente teóricos son, sin embargo, omnipresentes en las matemáticas contemporáneas. Por ejemplo, la prueba original de John Nash de la existencia de un equilibrio de Nash en 1951 era un teorema de existencia de este tipo. Posteriormente, en 1962 también se encontró un enfoque constructivo [7].
Ideas constructivistas
Desde la otra dirección, ha habido una aclaración considerable de lo que es la matemática constructiva , sin el surgimiento de una "teoría maestra". Por ejemplo, según las definiciones de Errett Bishop , la continuidad de una función como sin ( x ) debe probarse como un límite constructivo en el módulo de continuidad , lo que significa que el contenido existencial de la afirmación de continuidad es una promesa que puede siempre se mantendrá. En consecuencia, Bishop rechaza la idea estándar de continuidad puntual y propuso que la continuidad debería definirse en términos de "continuidad local uniforme". [8] Se podría obtener otra explicación del teorema de existencia a partir de la teoría de tipos , en la que una prueba de un enunciado existencial sólo puede provenir de un término (que se puede ver como contenido computacional).
Ver también
Notas
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - teorema" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
- ^ "Definición de teorema de existencia | Dictionary.com" . www.dictionary.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
- ^ Ver la sección de pruebas no constructivas de la entrada " Prueba constructiva ".
- ^ Weisstein, Eric W. "Teorema de la existencia" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
- ^ Dennis E. Hesseling (6 de diciembre de 2012). Gnomos en la niebla: la recepción del intuicionismo de Brouwer en la década de 1920 . Birkhäuser. pag. 376. ISBN 978-3-0348-7989-7.
- ^ Isaak Rubinstein; Lev Rubinstein (28 de abril de 1998). Ecuaciones diferenciales parciales en física matemática clásica . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 246. ISBN 978-0-521-55846-4.
- ^ Schaefer, Uwe (3 de diciembre de 2014). Del lema de Sperner a las ecuaciones diferenciales en los espacios de Banach: una introducción a los teoremas de los puntos fijos y sus aplicaciones . KIT Publicaciones científicas. pag. 31. ISBN 978-3-7315-0260-9.
- ^ "Matemáticas constructivas de Bishop en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .