En matemáticas , en particular álgebra conmutativa , el concepto de ideal fraccional se introduce en el contexto de los dominios integrales y es particularmente fructífero en el estudio de los dominios de Dedekind . En cierto sentido, los ideales fraccionarios de un dominio integral son como ideales en los que se permiten denominadores . En contextos donde los ideales fraccionarios y los ideales de anillo ordinarios están en discusión, estos últimos a veces se denominan ideales integrales para mayor claridad.
Definición y resultados básicos
Dejar ser un dominio integral , y dejarsea su campo de fracciones .
Un ideal fraccionario de es un - submódulo de tal que exista un valor distinto de cero tal que . El elemento se puede pensar en borrar los denominadores en , de ahí el nombre ideal fraccional.
Los principales ideales fraccionarios son aquellos- submódulos de generado por un solo elemento distinto de cero de . Un ideal fraccionario está contenido en si, y solo si, es un ideal ('integral') de .
Un ideal fraccionario se llama invertible si hay otro ideal fraccionario tal que
dónde
se llama el producto de los dos ideales fraccionarios).
En este caso, el ideal fraccionario está determinado de forma única e igual al cociente ideal generalizado
El conjunto de ideales fraccionarios invertibles forma un grupo abeliano con respecto al producto anterior, donde la identidad es la unidad ideal sí mismo. Este grupo se llama el grupo de ideales fraccionarios de. Los principales ideales fraccionarios forman un subgrupo. Un ideal fraccionario (distinto de cero) es invertible si, y solo si, es proyectivo como un-módulo. Geométricamente, esto significa que un ideal fraccionario invertible se puede interpretar como paquetes de vectores de rango 1 sobre el esquema afín. .
Cada submódulo R de K finamente generado es un ideal fraccionario y sies noetheriano estos son todos los ideales fraccionarios de.
Dominios dedekind
En los dominios de Dedekind , la situación es mucho más sencilla. En particular, todo ideal fraccionario distinto de cero es invertible. De hecho, esta propiedad caracteriza a los dominios de Dedekind :
- Un dominio integral es un dominio de Dedekind si, y solo si, todo ideal fraccionario distinto de cero es invertible.
El conjunto de ideales fraccionarios sobre un dominio de Dedekind se denota .
Su grupo cociente de ideales fraccionarios por el subgrupo de ideales fraccionarios principales es un invariante importante de un dominio de Dedekind llamado grupo de clases ideal .
Campos numéricos
Para el caso especial de campos numéricos (como ) hay un anillo asociado denotado llamado el anillo de enteros de. Por ejemplo, por cuadrado libre e igual a . La propiedad clave de estos anillosson dominios de Dedekind . Por tanto, la teoría de los ideales fraccionarios puede describirse para los anillos de números enteros de campos numéricos. De hecho, la teoría del campo de clase es el estudio de tales grupos de anillos de clase.
Estructuras asociadas
Para el anillo de números enteros [1] pág. 2 de un campo numérico, el grupo de ideales fraccionarios forma un grupo denotado y el subgrupo de ideales fraccionarios principales se denota . El grupo de clases ideal es el grupo de ideales fraccionarios módulo los principales ideales fraccionarios, por lo que
y su número de clase es el orden del grupo . De alguna manera, el número de clase es una medida de qué tan "lejos" el anillo de números enteroses de ser un dominio de factorización único . Esto es porque si y solo si es una UFD.
Secuencia exacta para grupos de clases ideales
Hay una secuencia exacta
asociado a cada campo numérico .
Teorema de estructura para ideales fraccionarios
Uno de los teoremas de estructura importantes para los ideales fraccionarios de un campo numérico establece que todo ideal fraccionario se descompone de forma única hasta ordenar como
- .
en el espectro de. Por ejemplo,
- factores como
Además, debido a que los ideales fraccionarios sobre un campo numérico se generan todos finitamente, podemos borrar los denominadores multiplicando por algunos para conseguir un ideal . Por eso
Otro teorema de estructura útil es que los ideales fraccionarios integrales son generados por hasta 2 elementos. Llamamos a un ideal fraccionario que es un subconjunto de integral.
Ejemplos de
- es un ideal fraccionario sobre
- Para el ideal se divide en como
- En tenemos la factorización .
- Esto se debe a que si lo multiplicamos, obtenemos
- Desde satisface , nuestra factorización tiene sentido. Tenga en cuenta que esta factorización se puede generalizar tomando
- dando una factorización de todo ideal generado por un número impar (con ).
- En podemos multiplicar los ideales fraccionarios
- y
- para conseguir el ideal
Ideal divisorio
Dejar denotar la intersección de todos los principales ideales fraccionarios que contienen un ideal fraccionario distinto de cero .
Equivalentemente,
donde como arriba
Si a continuación, que se llama divisorial . [2]
En otras palabras, un ideal divisorio es una intersección distinta de cero de algún conjunto no vacío de ideales principales fraccionarios.
Si I es divisorial y J es un ideal fraccionario distinto de cero, entonces ( I : J ) es divisorial.
Sea R un dominio local de Krull (por ejemplo, un dominio local noetheriano integralmente cerrado ).
Entonces R es un anillo de valoración discreto si y solo si el ideal máximo de R es divisoria. [3]
Un dominio integral que satisface las condiciones de la cadena ascendente en los ideales divisorios se denomina dominio Mori . [4]
Ver también
- Gavilla divisoria
- Teorema de Dedekind-Kummer
Notas
- ^ Childress, Nancy (2009). Teoría del campo de clases . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-72490-4. OCLC 310352143 .
- ↑ Bourbaki 1998 , §VII.1
- ^ Bourbaki y Ch. VII, § 1, n. 7. Proposición 11.
- ^ http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdffirstpage_1&handle=euclid.rmjm/1187453107
Referencias
- Stein, William, Introducción computacional a la teoría algebraica de números (PDF)
- Capítulo 9 de Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1994), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
- Capítulo VII.1 de Bourbaki, Nicolas (1998), álgebra conmutativa (2a ed.), Springer Verlag , ISBN 3-540-64239-0
- Capítulo 11 de Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8 (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461