Tablas trigonométricas
En matemáticas , las tablas de funciones trigonométricas son útiles en varias áreas. Antes de la existencia de las calculadoras de bolsillo , las tablas trigonométricas eran esenciales para la navegación , la ciencia y la ingeniería . El cálculo de tablas matemáticas fue un área de estudio importante, que condujo al desarrollo de los primeros dispositivos informáticos mecánicos .
Las computadoras modernas y las calculadoras de bolsillo ahora generan valores de funciones trigonométricas bajo demanda, utilizando bibliotecas especiales de código matemático. A menudo, estas bibliotecas utilizan tablas precalculadas internamente y calculan el valor requerido mediante un método de interpolación adecuado . La interpolación de tablas de búsqueda simples de funciones trigonométricas todavía se usa en gráficos por computadora , donde solo se requiere una precisión modesta y la velocidad a menudo es primordial.
Otra aplicación importante de las tablas trigonométricas y los esquemas de generación es para los algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT), donde los mismos valores de función trigonométrica (llamados factores twiddle) deben evaluarse muchas veces en una transformación dada, especialmente en el caso común en el que se calculan muchas transformadas del mismo tamaño. En este caso, llamar a rutinas de bibliotecas genéricas cada vez es inaceptablemente lento. Una opción es llamar a las rutinas de la biblioteca una vez, para construir una tabla de los valores trigonométricos que serán necesarios, pero esto requiere una memoria significativa para almacenar la tabla. La otra posibilidad, dado que se requiere una secuencia regular de valores, es usar una fórmula de recurrencia para calcular los valores trigonométricos sobre la marcha. Se ha realizado una investigación significativa para encontrar esquemas de recurrencia estables y precisos para preservar la precisión de la FFT (que es muy sensible a los errores trigonométricos).
Las computadoras y calculadoras modernas utilizan una variedad de técnicas para proporcionar valores de funciones trigonométricas bajo demanda para ángulos arbitrarios (Kantabutra, 1996). Un método común, especialmente en procesadores de gama alta con unidades de punto flotante , es combinar una aproximación polinomial o racional (como la aproximación de Chebyshev , la mejor aproximación uniforme, la aproximación de Padé y, por lo general, para precisiones mayores o variables, series de Taylor y Laurent) con reducción de rango y una consulta de tabla: primero buscan el ángulo más cercano en una tabla pequeña y luego usan el polinomio para calcular la corrección. Mantener la precisión mientras se realiza dicha interpolación no es trivial, pero métodos como las tablas precisas de Gal, la reducción de rango de Cody y Waite y los algoritmos de reducción de radianes de Payne y Hanek se pueden utilizar para este propósito. En dispositivos más simples que carecen de un multiplicador de hardware , existe un algoritmo llamado CORDIC (así como técnicas relacionadas) que es más eficiente, ya que solo usa turnos y adiciones. Todos estos métodos se implementan comúnmente en hardware por razones de rendimiento.
El polinomio particular utilizado para aproximar una función trigonométrica se genera con anticipación utilizando alguna aproximación de un algoritmo de aproximación minimax .
Para cálculos de muy alta precisión , cuando la convergencia de expansión en serie se vuelve demasiado lenta, las funciones trigonométricas pueden aproximarse mediante la media aritmético-geométrica , que a su vez se aproxima a la función trigonométrica mediante la integral elíptica ( compleja ) (Brent, 1976).
