En geometría , el ángulo tangencial de una curva en el plano cartesiano, en un punto específico, es el ángulo entre la línea tangente a la curva en el punto dado y el eje x . [1] (Nótese que algunos autores definen el ángulo como la desviación de la dirección de la curva en algún punto de partida fijo. Esto es equivalente a la definición dada aquí por la adición de una constante al ángulo o rotando la curva. [ 2] )
Ecuaciones
Si una curva viene dada paramétricamente por ( x ( t ), y ( t )) , entonces el ángulo tangencial φ en t se define (hasta un múltiplo de 2π ) por [3]
Aquí, el símbolo primo denota la derivada con respecto a t . Por tanto, el ángulo tangencial especifica la dirección del vector velocidad ( x ( t ), y ( t )) , mientras que la rapidez especifica su magnitud. El vector
se llama vector tangente unitario , por lo que una definición equivalente es que el ángulo tangencial en t es el ángulo φ tal que (cos φ , sen φ ) es el vector tangente unitario en t .
Si la curva está parametrizada por la longitud del arco s , entonces | x ′ ( s ), y ′ ( s ) | = 1 , entonces la definición se simplifica a
En este caso, la curvatura κ viene dada por φ ′ ( s ) , donde κ se toma como positivo si la curva se dobla hacia la izquierda y negativo si la curva se dobla hacia la derecha. [1]
Si la curva está dada por y = f ( x ) , entonces podemos tomar ( x , f ( x )) como la parametrización, y podemos asumir que φ está entre -π/2 y π/2. Esto produce la expresión explícita
Ángulo tangencial polar [4]
En coordenadas polares , el ángulo tangencial polar se define como el ángulo entre la línea tangente a la curva en el punto dado y el rayo desde el origen hasta el punto. [5] Si ψ denota el ángulo polar tangencial, entonces ψ = φ - θ , donde φ es como arriba y θ es, como de costumbre, el ángulo polar.
Si la curva se define en coordenadas polares por r = f ( θ ) , entonces el ángulo tangencial polar ψ en θ se define (hasta un múltiplo de 2π ) por
- .
Si la curva está parametrizada por la longitud del arco s como r = r ( s ) , θ = θ ( s ) , entonces | r ′ ( s ), rθ ′ ( s ) | = 1 , entonces la definición se convierte en
- .
La espiral logarítmica se puede definir como una curva cuyo ángulo polar tangencial es constante. [4] [5]
Ver también
Referencias
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Ecuación natural" . MathWorld .
- ^ Por ejemplo: Whewell, W. (1849). "De la ecuación intrínseca de una curva y su aplicación" . Transacciones filosóficas de Cambridge . 8 : 659–671.Este artículo usa φ para significar el ángulo entre la tangente y la tangente en el origen. Este es el artículo que presenta la ecuación de Whewell, una aplicación del ángulo tangencial.
- ^ Weisstein, Eric W. "Ángulo tangencial" . MathWorld .
- ^ a b Williamson, Benjamin (1899). "Ángulo entre tangente y radio vectorial" . Un tratado elemental sobre el cálculo diferencial (9ª ed.). pag. 222.
- ^ a b Espiral logarítmica en PlanetMath .
Otras lecturas
- "Notaciones" . Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (en francés).
- Yates, RC (1952). Un manual sobre curvas y sus propiedades . Ann Arbor, MI: JW Edwards. págs. 123-126.