La ecuación de Whewell de una curva plana es una ecuación que relaciona el ángulo tangencial ( φ ) con la ( s ) longitud ( s ) del arco , donde el ángulo tangencial es el ángulo entre la tangente a la curva y el eje x , y la longitud del arco es la distancia a lo largo de la curva desde un punto fijo. Estas cantidades no dependen del sistema de coordenadas utilizado, excepto por la elección de la dirección del eje x , por lo que esta es una ecuación intrínseca de la curva o, menos precisamente, la ecuación intrínseca. Si una curva se obtiene de otra por traslación entonces sus ecuaciones de Whewell serán las mismas.
Cuando la relación es una función, de modo que el ángulo tangencial se da en función de la longitud del arco, ciertas propiedades se vuelven fáciles de manipular. En particular, la derivada del ángulo tangencial con respecto a la longitud del arco es igual a la curvatura . Por lo tanto, tomando la derivada de la ecuación de Whewell se obtiene una ecuación de Cesàro para la misma curva.
El concepto lleva el nombre de William Whewell , quien lo introdujo en 1849, en un artículo en Cambridge Philosophical Transactions . En su concepción, el ángulo utilizado es la desviación de la dirección de la curva en algún punto de partida fijo, y esta convención a veces también es utilizada por otros autores. Esto es equivalente a la definición dada aquí por la adición de una constante al ángulo o rotando la curva.
Propiedades
Si la curva se da paramétricamente en términos de la longitud del arco s , entonces φ está determinado por
lo que implica
Las ecuaciones paramétricas para la curva se pueden obtener integrando:
Dado que la curvatura está definida por
la ecuación de Cesàro se obtiene fácilmente diferenciando la ecuación de Whewell.
Ejemplos de
Curva | Ecuación |
---|---|
Línea | |
Circulo | |
De cadena |
Referencias
- Whewell, W. De la ecuación intrínseca de una curva y su aplicación. Transacciones filosóficas de Cambridge, vol. VIII, págs. 659-671, 1849. Google Books
- Todhunter, Isaac. William Whewell, DD, Un relato de sus escritos, con selecciones de su correspondencia literaria y científica. Vol. I. Macmillan and Co., 1876, Londres. Sección 56: p. 317.
- J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. págs. 1-5 . ISBN 0-486-60288-5.
- Yates, RC: Un manual sobre curvas y sus propiedades , JW Edwards (1952), "Ecuaciones intrínsecas" p124-5