En matemáticas , la teoría de la dualidad de Tannaka-Kerin se refiere a la interacción de un grupo topológico compacto y su categoría de representaciones lineales . Es una extensión natural de la dualidad de Pontryagin , entre grupos topológicos conmutativos compactos y discretos , a grupos que son compactos pero no conmutativos . La teoría lleva el nombre de Tadao Tannaka y Mark Grigorievich Kerin . En contraste con el caso de los grupos conmutativos considerados por Lev Pontryagin , la noción dual a un grupo compacto no conmutativo no es un grupo, sino uncategoría de representaciones Π ( G ) con alguna estructura adicional, formado por las representaciones de dimensión finita de G .
Los teoremas de dualidad de Tannaka y Kerin describen el paso inverso de la categoría Π ( G ) al grupo G , lo que permite recuperar el grupo de su categoría de representaciones. Además, caracterizan por completo todas las categorías que pueden surgir de un grupo de esta manera. Alexander Grothendieck demostró más tarde que mediante un proceso similar, la dualidad de Tannaka puede extenderse al caso de los grupos algebraicos a través del formalismo de Tannak . Mientras tanto, la teoría original de Tannaka y Kerin continuó siendo desarrollada y refinada por físicos matemáticos . Una generalización de la teoría de Tannaka-Kerin proporciona el marco natural para estudiar las representaciones de grupos cuánticos , y actualmente se está extendiendo a supergrupos cuánticos , grupos cuánticos y sus algebroides duales de Hopf .
La idea de la dualidad Tannaka-Kerin: categoría de representaciones de un grupo
En la teoría de la dualidad de Pontryagin para grupos conmutativos localmente compactos , el objeto dual de un grupo G es su grupo de caracteres que consiste en sus representaciones unitarias unidimensionales . Si permitimos que el grupo G sea conmutativo, el análogo más directa del grupo de caracteres es el conjunto de clases de equivalencia de irreducibles representaciones unitarias de G . El análogo del producto de caracteres es el producto tensorial de representaciones . Sin embargo, las representaciones irreductibles de G en general no forman un grupo, ni siquiera un monoide, porque un producto tensorial de representaciones irreductibles no es necesariamente irreductible. Resulta que hay que considerar el conjuntode todas las representaciones de dimensión finita, y trátelo como una categoría monoidal , donde el producto es el producto tensorial habitual de las representaciones, y el objeto dual está dado por la operación de la representación contragrediente .
Una representación de la categoríaes una transformación natural monoidal del functor de identidad a sí mismo. En otras palabras, es una función distinta de cero que se asocia con cualquier un endomorfismo del espacio de T y satisface las condiciones de compatibilidad con los productos tensoriales,, y con operadores entrelazados arbitrarios , a saber, . La colección de todas las representaciones de la categoría puede ser dotado de multiplicación y topología , en la que la convergencia se define puntualmente , es decir, una secuencia converge a algunos si y solo si converge a para todos . Se puede demostrar que el conjunto se convierte así en un grupo compacto (topológico).
Teoremas de Tannaka y Kerin
El teorema de Tannaka proporciona una forma de reconstruir el grupo compacto G a partir de su categoría de representaciones Π ( G ).
Sea G un grupo compacto y sea F: Π ( G ) → Vect C el functor olvidadizo de las representaciones complejas de dimensión finita de G a los espacios vectoriales complejos de dimensión finita . Se pone una topología en las transformaciones naturales τ: F → F estableciendo que sea la topología más burda posible, de modo que cada una de las proyecciones Fin ( F ) → Fin ( V ) dada por (tomando una transformación natural a su componente a ) es una función continua . Decimos que una transformación natural conserva el tensor si es el mapa de identidad en la representación trivial de G , y si conserva los productos del tensor en el sentido de que. También decimos que τ es auto-conjugado sidonde la barra denota conjugación compleja. Entonces el setde todas las transformaciones naturales autoconjugadas que conservan el tensor de F es un subconjunto cerrado de End ( F ), que de hecho es un grupo (compacto) siempre que G sea un grupo (compacto). Cada elemento x de G da lugar a una transformación natural autoconjugada que conserva el tensor a través de la multiplicación por x en cada representación, y por lo tanto uno tiene un mapa. El teorema de Tannaka dice entonces que este mapa es un isomorfismo.
El teorema de Krein responde a la siguiente pregunta: ¿qué categorías pueden surgir como un objeto dual en un grupo compacto?
Sea Π una categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, dotados de operaciones de producto tensorial e involución. Las siguientes condiciones son necesarias y suficientes para que Π a ser un objeto dual a un grupo compacto G .
- 1. Existe un objeto con la propiedad que para todos los objetos A de Π (que necesariamente será único hasta el isomorfismo).
- 2. Todo objeto A de Π se puede descomponer en una suma de objetos mínimos.
- 3. Si A y B son dos objetos mínimos, entonces el espacio de homomorfismos Hom Π ( A , B ) es unidimensional (cuando son isomorfos) o es igual a cero.
Si se cumplen todas estas condiciones, entonces la categoría Π = Π ( G ), donde G es el grupo de las representaciones de Π.
Generalización
El interés por la teoría de la dualidad de Tannaka-Kerin se reavivó en la década de 1980 con el descubrimiento de los grupos cuánticos en el trabajo de Drinfeld y Jimbo . Uno de los enfoques principales para el estudio de un grupo cuántico procede a través de sus representaciones de dimensión finita, que forman una categoría similar a las categorías monoidales simétricas Π ( G ), pero de tipo más general, categoría monoidal trenzada . Resultó que en este caso también existe una buena teoría de la dualidad del tipo Tannaka-Kerin y que juega un papel importante en la teoría de los grupos cuánticos al proporcionar un entorno natural en el que se pueden estudiar tanto los grupos cuánticos como sus representaciones. Poco después, se encontraron diferentes ejemplos de categorías monoidales trenzadas en la teoría racional de campos conformes . La filosofía de Tannaka-Kerin sugiere que las categorías monoidales trenzadas que surgen de la teoría de campos conforme también pueden obtenerse de grupos cuánticos, y en una serie de artículos, Kazhdan y Lusztig demostraron que efectivamente era así. Por otro lado, Reshetikhin y Turaev aplicaron categorías monoidales trenzadas que surgen de ciertos grupos cuánticos a la construcción de nuevos invariantes de nudos.
Teorema de Doplicher-Roberts
El teorema de Doplicher-Roberts (debido a Sergio Doplicher y John E. Roberts ) caracteriza a Rep ( G ) en términos de teoría de categorías , como un tipo de subcategoría de la categoría de espacios de Hilbert . [1] Tales subcategorías de representaciones unitarias de grupos compactos en espacios de Hilbert son:
- una estricta categoría simétrica monoidal C * con conjugados
- una subcategoría que tiene subobjetos y sumas directas , de modo que el C * -álgebra de endomorfismos de la unidad monoidal contiene solo escalares.
Ver también
- Teorema de Gelfand-Naimark
Notas
- ^ Doplicher, S .; Roberts, J. (1989). "Una nueva teoría de la dualidad para grupos compactos". Inventiones Mathematicae . 98 (1): 157–218. Código Bibliográfico : 1989InMat..98..157D . doi : 10.1007 / BF01388849 .
enlaces externos
- Quantum Principal Bundles y Tannaka – Kerin Duality de Mico Durdevic (enlace roto: consulte esta página en ArXiv en su lugar, o [ https://archive.org/details/arxiv-q-alg9507018 esta página en Wayback Machine )
- Grupos cuánticos con integrales invariantes de Alfons Van Daele (involucra a Tannaka-Kerin)
- André Joyal y Ross Street, Introducción a la dualidad de Tannaka y los grupos cuánticos , en la Parte II de la Teoría de categorías, Actas, Como 1990 , eds. A. Carboni, MC Pedicchio y G. Rosolini, Lectures Notes in Mathematics 1488 , Springer, Berlín, 1991, 411–492.