En la teoría de la representación , la categoría de representaciones de alguna estructura algebraica A tiene las representaciones de A como objetos y mapas equivariantes como morfismos entre ellos. Uno de los ejes básicos de la teoría de la representación es comprender las condiciones bajo las cuales esta categoría es semisimple ; es decir, si un objeto se descompone en objetos simples (ver el teorema de Maschke para el caso de grupos finitos ).
El formalismo tannakiano da condiciones bajo las cuales un grupo G puede ser recuperado de la categoría de representaciones del mismo junto con el functor olvidadizo a la categoría de espacios vectoriales . [1]
El anillo de Grothendieck de la categoría de las representaciones de dimensión finita de un grupo G se llama el anillo de representación de G .
Definiciones
Dependiendo de los tipos de representaciones que se quieran considerar, es típico utilizar definiciones ligeramente diferentes.
Para un grupo finito G y un campo F , la categoría de representaciones de G sobre F tiene
- objetos: pares ( V , f ) de espacios vectoriales V sobre F y representaciones f de G en ese espacio vectorial
- morfismos: mapas equivariantes
- composición: la composición de mapas equivariantes
- identidades: la función de identidad (que es un mapa equivariante).
La categoría se denota por o .
Para un grupo de Mentiras , normalmente se requiere que las representaciones sean fluidas o admisibles . Para el caso de un álgebra de Lie , consulte Representación del álgebra de Lie . Ver también: categoría O .
La categoría de módulos sobre el anillo de grupo
Existe un isomorfismo de categorías entre la categoría de representaciones de un grupo G sobre un campo F (descrita anteriormente) y la categoría de módulos sobre el anillo de grupo F [ G ], denotado F [ G ] -Mod .
Definición teórica de categorías
Cada grupo G puede verse como una categoría con un solo objeto, donde los morfismos en esta categoría son los elementos de G y la composición viene dada por la operación del grupo; entonces G es el grupo de automorfismo del objeto único. Dada una categoría arbitraria C , una representación de G en C es un funtor de G a C . Tal funtor envía el objeto único a un objeto, digamos X en C e induce un homomorfismo de grupo ; ver grupo de Automorfismo # en teoría de categorías para más información. Por ejemplo, un G -set es equivalente a un funtor de G a Set , la categoría de conjuntos , y una representación lineal es equivalente a un funtor a Vect F , la categoría de los espacios vectoriales sobre un campo F . [2]
En este escenario, la categoría de representaciones lineales de G sobre F es la categoría de functor G → Vect F , que tiene transformaciones naturales como sus morfismos.
Propiedades
La categoría de representaciones lineales de un grupo tiene una estructura monoidal dada por el producto tensorial de representaciones , que es un ingrediente importante en la dualidad Tannaka-Kerin (ver más abajo).
El teorema de Maschke establece que cuando la característica de F no divide el orden de G , la categoría de representaciones de G sobre F es semisimple .
Restricción e inducción
Dado un grupo G con un subgrupo H , hay dos functores fundamentales entre las categorías de representaciones de G y H (sobre un campo fijo): uno es un functor olvidadizo llamado functor de restricción
y el otro, el functor de inducción
- .
Cuando G y H son grupos finitos, son contiguos entre sí
- ,
un teorema llamado reciprocidad de Frobenius .
La pregunta básica es si la descomposición en representaciones irreductibles (objetos simples de la categoría) se comporta bajo restricción o inducción. La cuestión puede ser atacada, por ejemplo, por la teoría de Mackey .
Dualidad Tannaka-Kerin
La dualidad Tannaka-Kerin se refiere a la interacción de un grupo topológico compacto y su categoría de representaciones lineales . El teorema de Tannaka describe el paso inverso de la categoría de representaciones de dimensión finita de un grupo G al grupo G , lo que permite recuperar el grupo de su categoría de representaciones. En efecto, el teorema de Krein caracteriza completamente todas las categorías que pueden surgir de un grupo de esta manera. Estos conceptos se pueden aplicar a representaciones de varias estructuras diferentes; consulte el artículo principal para obtener más detalles.
Notas
- ↑ Jacob, Lurie (14 de diciembre de 2004). "Dualidad de Tannaka para pilas geométricas". arXiv : matemáticas / 0412266 .
- ^ Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático que trabaja (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York. pag. 41. ISBN 1441931236. OCLC 851741862 .
Referencias
- André, Yves (2004), Une introduction aux motifs (motifs seek, motifs mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, 17 , París: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, MR 2115000
enlaces externos
- https://ncatlab.org/nlab/show/category+of+representations