En matemáticas , una categoría tannakiana es un tipo particular de categoría monoidal C , equipada con alguna estructura adicional relativa a un campo K dado . El papel de tales categorías C es aproximar, en cierto sentido, la categoría de representaciones lineales de un grupo algebraico G definido sobre K . Se han realizado varias aplicaciones importantes de la teoría, o podrían realizarse en pos de algunas de las conjeturas centrales de la geometría algebraica y la teoría de números contemporáneas .
El nombre está tomado de la dualidad Tadao Tannaka y Tannaka-Kerin , una teoría sobre los grupos compactos G y su teoría de la representación. La teoría se desarrolló primero en la escuela de Alexander Grothendieck . Más tarde fue reconsiderado por Pierre Deligne , y se hicieron algunas simplificaciones. El patrón de la teoría es el de la teoría de Galois de Grothendieck , que es una teoría sobre representaciones de permutación finita de grupos G que son grupos profinitos .
La esencia de la teoría, que es bastante elaborada en detalle en la exposición de Saavedra Rivano, es que el funtor de fibra Φ de la teoría de Galois es reemplazado por un functor tensorial T de C a K- Vect . El grupo de transformaciones naturales de Φ a sí mismo, que resulta ser un grupo lucrativo en la teoría de Galois, es reemplazado por el grupo ( a priori sólo un monoide ) de transformaciones naturales de T en sí mismo, que respetan la estructura tensorial. Este no es por naturaleza un grupo algebraico, sino un límite inverso de grupos algebraicos (grupo pro-algebraico).
Una categoría tannakiana neutra es una categoría tensorial abeliana rígida , de manera que existe un funtor de tensores K para la categoría de espacios de vectores K de dimensión finita que es exacto y fiel . [1]
La construcción se utiliza en los casos en que una estructura de Hodge o una representación l-ádica debe considerarse a la luz de la teoría de la representación de grupo. Por ejemplo, el grupo Mumford-Tate y el grupo motívico de Galois pueden recuperarse potencialmente de un grupo de cohomología o módulo de Galois , por medio de una categoría tannakiana mediadora que genera.
Estas áreas de aplicación están estrechamente relacionadas con la teoría de los motivos . Otro lugar en el que se han utilizado las categorías tannakianas es en relación con la conjetura de la curvatura p de Grothendieck-Katz ; en otras palabras, en grupos de monodromía delimitadores .