En matemáticas , un grupo de caracteres es el grupo de representaciones de un grupo de complejos -valued funciones . Estas funciones pueden considerarse como representaciones matriciales unidimensionales y, por lo tanto, son casos especiales de los caracteres grupales que surgen en el contexto relacionado de la teoría del carácter . Siempre que un grupo está representado por matrices, la función definida por la traza de las matrices se llama carácter; sin embargo, estos rastros no forman en general un grupo. Algunas propiedades importantes de estos caracteres unidimensionales se aplican a los personajes en general:
- Los caracteres son invariantes en las clases de conjugación .
- Los caracteres de las representaciones irreductibles son ortogonales.
La importancia principal del grupo de caracteres para los grupos abelianos finitos está en la teoría de números , donde se utiliza para construir caracteres de Dirichlet . El grupo de caracteres del grupo cíclico también aparece en la teoría de la transformada discreta de Fourier . Para los grupos abelianos localmente compactos , el grupo de caracteres (con un supuesto de continuidad) es fundamental para el análisis de Fourier .
Preliminares
Sea G un grupo abeliano. Una funciónmapear el grupo a los números complejos distintos de cero se llama carácter de G si es un homomorfismo de grupo de a —Es decir, si para todos .
Si f es un carácter de un grupo finito G , entonces cada valor de función f ( g ) es una raíz de unidad , ya que para cada existe tal que , y por lo tanto .
Cada carácter f es una constante en las clases de conjugación de G , es decir, f ( hgh −1 ) = f ( g ). Por esta razón, a veces un carácter se denomina función de clase .
Un grupo abeliano finito de orden n tiene exactamente n caracteres distintos. Estos se denotan por f 1 , ..., f n . La función f 1 es la representación trivial, que viene dada por para todos . Se le llama el carácter principal de G ; los otros se denominan personajes no principales .
Definición
Si G es un grupo abeliano, entonces el conjunto de caracteres f k forma un grupo abeliano bajo la multiplicación puntual. Es decir, producto de personajes. y es definido por para todos . Este grupo es el grupo de caracteres de G y a veces se denota como. El elemento de identidad dees el carácter principal f 1 , y el inverso de un carácter f k es su recíproco 1 / f k . Sies finito de orden n , entoncestambién es de orden n . En este caso, desde para todos , el inverso de un carácter es igual al conjugado complejo .
Ortogonalidad de personajes
Considera el matriz A = A ( G ) cuyos elementos de matriz son dónde es el k -ésimo elemento de G .
La suma de las entradas en la j- ésima fila de A viene dada por
- Si , y
- .
La suma de las entradas en la k- ésima columna de A viene dada por
- Si , y
- .
Dejar denotar la transpuesta conjugada de A . Luego
- .
Esto implica la relación de ortogonalidad deseada para los personajes: es decir,
- ,
dónde es el delta de Kronecker y es el complejo conjugado de .
Ver también
Referencias
- Véase el capítulo 6 de Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001