algebroide de Hopf
En matemáticas, en la teoría de las álgebras de Hopf , un algebroide de Hopf es una generalización de las álgebras de Hopf débiles, ciertas álgebras de Hopf sesgadas y los k -algebroides de Hopf conmutativos. Si k es un campo, un k -algebroide conmutativo es un objeto cogroupoide en la categoría de k - álgebras; la categoría de tales es, por lo tanto, dual a la categoría de esquemas k de grupoide. Esta versión conmutativa se ha utilizado en 1970-s en geometría algebraica y teoría de homotopía estable . La generalización de los algebroides de Hopf y su parte principal de la estructura, los bialgebroides asociativos, al álgebra de base no conmutativa fue introducido por J.-H. Lu en 1996 como resultado de un trabajo sobre los groupoides en la geometría de Poisson (más tarde se muestra equivalente de manera no trivial a una construcción de Takeuchi de la década de 1970 y otra de Xu alrededor del año 2000). Se pueden considerar vagamente como álgebras de Hopf sobre un anillo base no conmutativo, donde las álgebras de Hopf débiles se convierten en álgebras de Hopf sobre un álgebra separable . Es un teorema que un algebroide de Hopf que satisface una condición de proyectividad finita sobre un álgebra separable es un álgebra de Hopf débil y, a la inversa, un álgebra de Hopf débil H es un algebroide de Hopf sobre su subálgebra separable H L. Los axiomas de las antípodas fueron cambiados por G. Böhm y K. Szlachányi (J. Algebra) en 2004 por razones categóricas de tensores y para acomodar ejemplos asociados a dos extensiones de álgebra de profundidad de Frobenius .
La principal motivación detrás de la definición de un algebroide de Hopf [1] pg301-302 es su representación algebraica conmutativa de una pila algebraica que se puede presentar como esquemas afines . De manera más general, los algebroides de Hopf codifican los datos de pregavillas de groupoides en la categoría de esquemas afines. [2] Es decir, si tenemos un objeto grupoide de esquemas afines
con un mapa de identidad que proporciona una incrustación de objetos en las flechas, podemos tomar como nuestra definición de un algebroide de Hopf como los objetos duales en anillos conmutativos que codifican esta estructura. Tenga en cuenta que este proceso es esencialmente una aplicación del lema de Yoneda a la definición de los esquemas de grupoides en la categoría de esquemas afines. Dado que es posible que queramos fijar un anillo base, en su lugar consideraremos la categoría de -álgebras conmutativas.
Un algebroide de Hopf sobre un anillo conmutativo es un par de -álgebras tales que su funtor de puntos
