Tate dualidad

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En matemáticas , la dualidad de Tate o la dualidad de Poitou-Tate es un teorema de dualidad para grupos de módulos de cohomología de Galois sobre el grupo de Galois de un campo numérico algebraico o campo local , introducido por John Tate  ( 1962 ) y Georges Poitou ( 1967 ).

Para un campo local p -ádico , la dualidad local de Tate dice que hay un emparejamiento perfecto de grupos finitos${\ estilo de visualización k}$

donde es un esquema de grupo finito y su dual . Para un campo local de característica , la declaración es similar, excepto que el emparejamiento toma valores en . ^[1] La declaración también es válida para los campos de Arquímedes, aunque la definición de los grupos de cohomología parece algo diferente en este caso.${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización M'}$${\displaystyle\operatorname {Hom} (M,G_{m})}$${\ estilo de visualización p> 0}$${\displaystyle H^{2}(k,\mu )=\bigcup _{p\nmid n}{\tfrac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$

Dado un esquema de grupo finito sobre un campo global, la dualidad de Tate global relaciona la cohomología de con la de usar los emparejamientos locales construidos anteriormente. Esto se hace a través de los mapas de localización.${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización k}$${\ estilo de visualización M}$${\displaystyle M'=\operatorname {Hom} (M,G_{m})}$

donde varía en todos los lugares de , y donde denota un producto restringido con respecto a los grupos de cohomología no ramificados. La suma de los emparejamientos locales da un emparejamiento perfecto canónico${\ estilo de visualización v}$${\ estilo de visualización k}$${\ estilo de visualización \ prod '}$

Una parte de la dualidad Poitou-Tate establece que, bajo este emparejamiento, la imagen de tiene un aniquilador igual a la imagen de para .${\displaystyle H^{r}(k,M)}$${\displaystyle H^{2-r}(k,M')}$${\ estilo de visualización r = 0,1,2}$

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