Función tau (sistemas integrables)

Las funciones Tau son un ingrediente importante en la teoría moderna de sistemas integrables y tienen numerosas aplicaciones en una variedad de otros dominios. Fueron introducidas originalmente por Ryogo Hirota ^[1] en su enfoque de método directo para las ecuaciones de solitones, basado en expresarlas en una forma bilineal equivalente. El término función Tau , o${\displaystyle \tau }$-función , fue utilizado por primera vez sistemáticamente por Mikio Sato ^[2] y sus estudiantes ^{[3] [4]} en el contexto específico de la ecuación Kadomtsev-Petviashvili (o KP) , y las jerarquías integrables relacionadas. Es un ingrediente central en la teoría de los solitones . Las funciones Tau también aparecen como funciones de partición del modelo matricial en la teoría espectral de matrices aleatorias , y también pueden servir como funciones generadoras , en el sentido de combinatoria y geometría enumerativa , especialmente en relación con los espacios de módulos de las superficies de Riemann y la enumeración de recubrimientos ramificados., o los llamados números de Hurwitz .

Definicion de ${\displaystyle \tau }$-funciones

Hay dos nociones de ${\displaystyle \tau }$-funciones, ambas introducidas por la escuela Sato . El primero es el de isomonodromic ${\displaystyle \tau }$-funciones . ^[5] El segundo es ${\displaystyle \tau }$-funciones del tipo Sato - Segal- Wilson ^{[2] [6]} para jerarquías integrables, como la jerarquía KP, que son parametrizadas por operadores lineales que satisfacen ecuaciones de deformación isospectral de tipo Lax .

A ${\displaystyle \tau }$-La función de tipo isospectral es una solución de las ecuaciones bilineales de Hirota, a partir de la cual el operador lineal que experimenta evolución isospectral puede reconstruirse de forma única. Geométricamente, en el sentido de Sato ^[2] y Segal- Wilson ^[6] , es el valor del determinante de un operador integral de Fredholm , interpretado como la proyección ortogonal de un elemento de una variedad de Grassmann adecuadamente definida (dimensión infinita) sobre la origen , ya que ese elemento evoluciona bajo la acción exponencial lineal de un subgrupo abeliano máximo del grupo lineal general. Normalmente surge como una función de partición , en el sentido dela mecánica estadística , la mecánica cuántica de muchos cuerpos o la teoría cuántica de campos , ya que la medida subyacente sufre una deformación exponencial lineal.

Relación de residuos bilineales de Hirota para funciones de KP τ

A KP ( Kadomtsev – Petviashvili )${\displaystyle \tau }$-función ${\displaystyle \tau (\mathbf {t} )}$ es una función de un número infinito de variables de flujo KP ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$ que satisface la siguiente ecuación de residuos formales bilineales

${\displaystyle \mathrm {res} _{z=0}\left(e^{\sum _{i=1}^{\infty }(\delta t_{i})z^{i}}\tau ({\bf {t}}-[z^{-1}])\tau ({\bf {s}}+[z^{-1}])\right)dz\equiv 0,}$

( 1 )

idénticamente en el ${\displaystyle \delta t_{j}}$ variables, donde ${\displaystyle \mathrm {res} _{z=0}}$ es el ${\displaystyle z^{-1}}$ coeficiente en la expansión formal de Laurent resultante de expandir todos los factores como la serie Laurent 'en ${\displaystyle z}$, y

${\displaystyle {\bf {s}}:={\bf {t}}+(\delta t_{1},\delta t_{2},\cdots ),\quad [z^{-1}]:=(z^{-1},{\tfrac {z^{-2}}{2}},\cdots {\tfrac {z^{-j}}{j}},\cdots ).}$

Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili

Si ${\displaystyle \tau (t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots )}$ es un KP ${\displaystyle \tau }$-función que satisface la ecuación de residuos de Hirota ( 1 ) e identificamos las tres primeras variables de flujo como

${\displaystyle t_{1}=x,\quad t_{2}=y,\quad t_{3}=t,}$

de ello se deduce que la función

${\displaystyle u(x,y,t):=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log \left(\tau (x,y,t,t_{4},\dots )\right)}$

satisface el ${\displaystyle 2+1}$ ecuación diferencial parcial no lineal dimensional

${\displaystyle 3u_{yy}=\left(4u_{t}-6uu_{x}-u_{xxx}\right)_{x},}$

( 2 )

conocido como el Kadomtsev-Petviashvili (KP) ecuación , que desempeña un papel destacado en la física del plasma y en las ondas de agua bajas del océano.

Tomando más derivadas logarítmicas de ${\displaystyle \tau (t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots )}$ da una secuencia infinita de funciones que satisfacen otros sistemas de PDE autónomos no lineales, cada uno con derivadas parciales de orden finito con respecto a un número finito de los parámetros de flujo de KP ${\displaystyle {\bf {t}}=(t_{1},t_{2},\dots )}$. Estos se conocen colectivamente como la jerarquía KP .

Función formal Baker-Akhiezer y la jerarquía KP

Si definimos la función (formal) de Baker-Akhiezer ${\displaystyle \Psi (z,\mathbf {t} )}$por la fórmula de Sato

${\displaystyle \Psi (z,\mathbf {t} ):=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}{\frac {\tau (\mathbf {t} -[z^{-1}])}{\tau (\mathbf {t} )}}}$

y expandirlo como una serie formal en las potencias de la variable ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Psi (z,\mathbf {t} )=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}(1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}(\mathbf {t} )z^{-j}),}$

esto satisface una secuencia infinita de ecuaciones de evolución compatibles

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t_{i}}}={\mathcal {D}}_{i}\Psi ,\quad i,j,=1,2,\dots ,}$

( 3 )

donde ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$ es un operador diferencial ordinario lineal de grado ${\displaystyle i}$ en la variable ${\displaystyle x:=t_{1}}$, con coeficientes que son funciones de las variables de flujo ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$, definido de la siguiente manera

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}:={\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}}$

donde ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ es el operador pseudo-diferencial formal

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial +\sum _{j=1}^{\infty }u_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}={\mathcal {W}}\circ \partial \circ {\mathcal {W}}^{-1}}$

con ${\displaystyle \partial :={\frac {\partial }{\partial x}}}$, donde

${\displaystyle {\mathcal {W}}:=1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}}$

es el operador de onda y${\displaystyle {\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}}$denota la proyección a la parte de ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{i}}$ que contiene poderes puramente no negativos de ${\displaystyle \partial }$; es decir, a la parte del operador diferencial de${\displaystyle {\mathcal {L}}^{i}}$ .

El operador pseudodiferencial ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ satisface el sistema infinito de ecuaciones de deformación isoespectral

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t_{i}}}=[{\mathcal {D}}_{i},{\mathcal {L}}],\quad i,=1,2,\dots }$

( 4 )

y las condiciones de compatibilidad para el sistema ( 3 ) y ( 4 ) son

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {D}}_{i}}{\partial t_{j}}}-{\frac {\partial {\mathcal {D}}_{j}}{\partial t_{i}}}+[{\mathcal {D}}_{i},{\mathcal {D}}_{j}]=0,\quad i,j,=1,2,\dots }$

Este es un sistema infinito compatible de ecuaciones diferenciales parciales no lineales, conocido como la jerarquía KP (Kadomtsev-Petviashvili) , para las funciones${\displaystyle \{u_{j}(\mathbf {t} )\}_{j\in \mathbf {N} }}$, con respecto al conjunto ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$ de variables independientes, cada una de las cuales contiene sólo un número finito de ${\displaystyle u_{j}}$y derivadas solo con respecto a las tres variables independientes ${\displaystyle (x,t_{i},t_{j})}$. El primer caso no trivial de estos es la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili ( 2 ).

Por lo tanto, cada KP ${\displaystyle \tau }$ La función proporciona una solución, al menos en el sentido formal, de este sistema infinito de ecuaciones diferenciales parciales no lineales.

Sistemas isomonodrómicos fucsianos: Isomonodrómicos ${\displaystyle \tau }$-funciones

Considere el sistema sobredeterminado de ecuaciones diferenciales parciales matriciales de primer orden

${\displaystyle {\partial \Psi \over \partial z}-\sum _{i=1}^{n}{N_{i} \over z-\alpha _{i}}\Psi =0,\quad }$

( 5 )

${\displaystyle {\partial \Psi \over \partial \alpha _{i}}+{N_{i} \over z-\alpha _{i}}\Psi =0,}$

( 6 )

donde ${\displaystyle \{N_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ son un conjunto de ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r\times r}$ matrices sin trazas, ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ un conjunto de ${\displaystyle n}$ parámetros complejos y ${\displaystyle z}$ una variable compleja, y ${\displaystyle \Psi (z,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$ es un invertible ${\displaystyle r\times r}$ función de matriz de valores de ${\displaystyle z}$ y ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$. Estas son las condiciones necesarias y suficientes para la representación basada en monodromía del grupo fundamental.${\displaystyle \pi _{0}({\bf {P}}^{1}\backslash \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n})}$ de la esfera de Riemann perforada en los puntos ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ correspondiente al operador de la derivada covariante racional

${\displaystyle {\partial \over \partial z}-\sum _{i=1}^{n}{N_{i} \over z-\alpha _{i}}}$

ser independiente de los parámetros ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$; es decir, que los cambios en estos parámetros inducen una deformación isomonodrómica . Las condiciones de compatibilidad para este sistema son las ecuaciones de Schlesinger ^[5]

${\displaystyle {\partial N_{i} \over \partial \alpha _{j}}={[N_{i},N_{j}] \over \alpha _{i}-\alpha _{j}}\quad {\text{ for }}i\neq j,}$

${\displaystyle {\partial N_{i} \over \partial \alpha _{i}}=-\sum _{1\leq j\leq n,j\neq i}{[N_{i},N_{j}] \over \alpha _{i}-\alpha _{j}}.}$

Definiendo el ${\displaystyle n}$ funciones

${\displaystyle H_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{1\leq j\leq n,j\neq i}{{\rm {Tr}}(N_{i}N_{j}) \over \alpha _{i}-\alpha _{j}},\quad i=1,\dots ,n,}$

las ecuaciones de Schlesinger implican que la forma diferencial

${\displaystyle \omega :=\sum _{i=1}^{n}H_{i}d\alpha _{i}}$

en el espacio de parámetros está cerrado:

${\displaystyle d\omega =0}$

y por tanto, localmente exacto. Por lo tanto, al menos localmente, existe una función ${\displaystyle \tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$de los parámetros, definidos dentro de una constante multiplicativa, tal que

${\displaystyle \omega =d\mathrm {ln} \tau }$

La función ${\displaystyle \tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$se llama isomonodrómico${\displaystyle \tau }$-función asociada a la solución fundamental${\displaystyle \Psi }$del sistema ( 5 ), ( 6 ). Para los sistemas no fucsianos, con polos de orden superior, los datos de monodromía generalizados incluyen parámetros de Stokes y matrices de conexión , y hay otros parámetros de deformación isomonodrómicos asociados con los asintóticos locales, pero los isomonodrómicos${\displaystyle \tau }$-Las funciones se pueden definir de manera similar, utilizando diferenciales en el espacio de parámetros extendido. ^[5]

Representaciones fermiónicas de VEV (valor esperado de vacío)

El espacio fermiónico Fock ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, es un espacio de producto exterior semi-infinito

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Lambda ^{\infty /2}{\mathcal {H}}=\oplus _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {F}}_{n}}$

definido en un espacio de Hilbert (separable) ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ con elementos base ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }\}}$ y elementos de base dual ${\displaystyle \{e^{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }\}}$ por ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$.

Los operadores libres de creación y aniquilación fermiónica ${\displaystyle \{\psi _{j},\psi _{j}^{\dagger }\}_{j\in \mathbf {Z} }}$ actúan como endomorfismos en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ a través de la multiplicación exterior e interior por los elementos básicos

${\displaystyle \psi _{i}:=e_{i}\wedge ,\quad \psi _{i}^{\dagger }:=i_{e^{i}},\quad i\in \mathbf {Z} ,}$

y satisfacer las relaciones canónicas anticonmutación

${\displaystyle [\psi _{i},\psi _{k}]_{+}=[\psi _{i}^{\dagger },\psi _{k}^{\dagger }]_{+}=0,\quad [\psi _{i},\psi _{k}^{\dagger }]_{+}=\delta _{ij}.}$

Estos generan la representación fermiónica estándar del álgebra de Clifford en la suma directa ${\displaystyle {\mathcal {H}}+{\mathcal {H}}^{*}}$, correspondiente al producto escalar

${\displaystyle Q(u+\mu ,w+\nu ):=\nu (u)+\mu (v),\quad u,v\in {\mathcal {H}},\ \mu ,\nu \in {\mathcal {H}}^{*}}$

con el espacio Fock ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$como módulo irreducible. Denote el estado de vacío, en el sector de carga fermiónica cero${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$, como

${\displaystyle |0\rangle :=e_{-1}\wedge e_{-2}\wedge \cdots }$,

que corresponde al mar de estados de Dirac a lo largo del entramado de enteros real en el que todas las ubicaciones de enteros negativos están ocupadas y todas las no negativas están vacías.

Esto es aniquilado por los siguientes operadores

${\displaystyle \psi _{-j}|0\rangle =0,\quad \psi _{j-1}^{\dagger }|0\rangle =0,\quad j=0,1,\dots }$

El estado de vacío del espacio de Fock fermiónico dual, denotado ${\displaystyle \langle 0|}$, es aniquilado por los operadores adjuntos, actuando a la izquierda

${\displaystyle \langle 0|\psi _{-j}^{\dagger }=0,\quad \langle 0|\psi _{j-1}|0=0,\quad j=0,1,\dots }$

Orden normal ${\displaystyle :L_{1},\cdots L_{m}:}$ de un producto de operadores lineales (es decir, combinaciones lineales finitas o infinitas de operadores de creación y aniquilación) se define de modo que su valor de expectativa de vacío (VEV) desaparece

${\displaystyle \langle 0|:L_{1},\cdots L_{m}:|0\rangle =0.}$

En particular, para un producto ${\displaystyle L_{1}L_{2}}$ de un par ${\displaystyle (L_{1},L_{2})}$de operadores lineales

${\displaystyle :L_{1}L_{2}:=L_{1}L_{2}-\langle 0|L_{1}L_{2}|0\rangle .}$

El operador de carga fermiónica${\displaystyle C}$ Se define como

${\displaystyle C=\sum _{i\in \mathbf {Z} }:\psi _{i}\psi _{i}^{\dagger }:}$

El subespacio ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}\subset {\mathcal {F}}}$ es el espacio propio de ${\displaystyle C}$que consta de todos los autovectores con autovalor ${\displaystyle n}$

${\displaystyle C|v;n\rangle =n|v;n\rangle ,\quad \forall |v;n\rangle \in {\mathcal {F}}_{n}}$.

La base ortonormal estándar ${\displaystyle \{|\lambda \rangle \}}$ para el sector de carga fermiónica cero ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$está etiquetado por particiones enteras${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})}$, donde ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{\ell (\lambda )}}$es una secuencia débilmente decreciente de ${\displaystyle \ell (\lambda )}$enteros positivos, que se pueden representar de manera equivalente por un diagrama de Young , como se muestra aquí para la partición ${\displaystyle (5,4,1)}$.

Diagrama joven de la partición (5, 4, 1)

Una notación alternativa para una partición ${\displaystyle \lambda }$consta de los índices de Frobenius${\displaystyle (\alpha _{1},\dots \alpha _{r}|\beta _{1},\dots \beta _{r})}$, donde ${\displaystyle \alpha _{i}}$denota la longitud del brazo ; es decir, el número${\displaystyle \lambda _{i}-i}$ de cajas en el diagrama de Young a la derecha de la ${\displaystyle i}$'th caja diagonal, ${\displaystyle \beta _{i}}$denota la longitud de la pierna , es decir, el número de cajas en el diagrama de Young debajo de la${\displaystyle i}$'th caja diagonal, para ${\displaystyle i=1,\dots ,r}$, donde ${\displaystyle r}$es el rango de Frobenius , que es el número de elementos diagonales.

El elemento base ${\displaystyle |\lambda \rangle }$ se obtiene actuando sobre el vacío con un producto de ${\displaystyle r}$ pares de operadores de creación y aniquilación, etiquetados por los índices de Frobenius

${\displaystyle |\lambda \rangle =(-1)^{\sum _{j=1}^{r}\beta _{j}}\prod _{k=1}^{r}{\big (}\psi _{\alpha _{k}}\psi _{-\beta _{k}-1}^{\dagger }{\big )}|0\rangle .}$

Los enteros ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,r}}$ indican, en relación con el mar de Dirac, los sitios ocupados no negativos en la red de enteros mientras ${\displaystyle \{-\beta _{i}-1\}_{i=1,\dots ,r}}$indican los sitios enteros negativos desocupados. El diagrama correspondiente, que consta de un número infinito de sitios ocupados y desocupados en la red de números enteros que son una perturbación finita del mar de Dirac, se conoce como diagrama maya . ^[2]

El caso de la partición nula (conjunto vacío) ${\displaystyle |\emptyset \rangle =|0\rangle }$da el estado de vacío, y la base dual ${\displaystyle \langle \mu |\}}$ es definido por

${\displaystyle \langle \mu |\lambda \rangle =\delta _{\lambda ,\mu }}$

Entonces cualquier KP ${\displaystyle \tau }$-la función se puede expresar como una suma

${\displaystyle \tau _{w}(\mathbf {t} )=\sum _{\lambda }\pi _{\lambda }(w)s_{\lambda }(\mathbf {t} )}$

donde ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots ,\dots )}$ son las variables de flujo KP,${\displaystyle s_{\lambda }(\mathbf {t} )}$es la función de Schur correspondiente a la partición${\displaystyle \lambda }$, visto como una función de las variables de suma de potencia normalizadas

${\displaystyle t_{i}:=[\mathbf {x} ]_{i}:={\frac {1}{i}}\sum _{a=1}^{n}x_{a}^{i}\quad i=1,2,\dots }$

en términos de una secuencia auxiliar (finita o infinita) de variables ${\displaystyle \mathbf {x} :=(x_{1},\dots ,x_{N})}$ y los coeficientes constantes ${\displaystyle \pi _{\lambda }(w)}$puede verse como las coordenadas de Plucker de un elemento${\displaystyle w\in \mathrm {Gr} _{{\mathcal {H}}_{+}}({\mathcal {H}})}$ del Grassmanniano de dimensión infinita que consiste en la órbita, bajo la acción del grupo lineal general ${\displaystyle \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$, del subespacio ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{+}=\mathrm {span} \{e_{-i}\}_{i\in \mathbf {N} }\subset {\mathcal {H}}}$ del espacio Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Esto corresponde, bajo la correspondencia de Bose-Fermi , a un elemento descomponible

${\displaystyle |\tau _{w}\rangle =\sum _{\lambda }\pi _{\lambda }(w)|\lambda \rangle }$

del espacio Fock ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ que, hasta la proyectivización, es la imagen del elemento Grassmanniano ${\displaystyle w\in \mathrm {Gr} _{{\mathcal {H}}_{+}}({\mathcal {H}})}$debajo del mapa Plucker

${\displaystyle {\mathcal {Pl}}:\mathrm {span} (w_{1},w_{2},\dots )\longrightarrow [w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots ]=[|\tau _{w}\rangle ],}$

donde ${\displaystyle (w_{1},w_{2},\dots )}$ es una base para el subespacio ${\displaystyle w\subset {\mathcal {H}}}$ y ${\displaystyle [\cdots ]}$ denota proyectivización de un elemento de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Las coordenadas de Plucker ${\displaystyle \{\pi _{\lambda }(w)\}}$Satisfacer un conjunto infinito de relaciones bilineales, las relaciones de Plucker , definiendo la incrustación de Plücker en la proyección.${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {F}})}$ del espacio fermiónico Fock, que son equivalentes a la relación de residuos bilineales de Hirota ( 1 ).

Si ${\displaystyle w=g({\mathcal {H}}_{+})}$ para un elemento de grupo ${\displaystyle g\in \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$con representación fermiónica ${\displaystyle {\hat {g}}}$, entonces la ${\displaystyle \tau }$-función${\displaystyle \tau _{w}(\mathbf {t} )}$ se puede expresar como el valor esperado del estado de vacío fermiónico (VEV):

${\displaystyle \tau _{w}(\mathbf {t} )=\langle 0|{\hat {\gamma }}_{+}(\mathbf {t} ){\hat {g}}|0\rangle ,}$

donde

${\displaystyle \Gamma _{+}=\{{\hat {\gamma }}_{+}(\mathbf {t} )=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}J_{i}}\}\subset \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$

es el subgrupo abeliano de ${\displaystyle \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$ que genera los flujos KP, y

${\displaystyle J_{i}:=\sum _{j\in \mathbf {Z} }\psi _{j}\psi _{j+i}^{\dagger },\quad i=1,2\dots }$

son los componentes "" actuales "".

Soluciones multisoliton

Si elegimos ${\displaystyle 3N}$ constantes complejas${\displaystyle \{\alpha _{k},\beta _{k},\gamma _{k}\}_{k=1,\dots ,N}}$con ${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}}$es todo distinto, ${\displaystyle \gamma _{k}\neq 0}$y definir las funciones

${\displaystyle y_{k}({\bf {t}}):=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\alpha _{k}^{i}}+\gamma _{k}e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\beta _{k}^{i}}\quad k=1,\dots ,N,}$

llegamos a la fórmula determinante wronskiana

${\displaystyle \tau _{{\vec {\alpha }},{\vec {\beta }},{\vec {\gamma }}}^{(N)}({\bf {t}}):={\begin{vmatrix}y_{1}({\bf {t}})&y_{2}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}({\bf {t}})\\y_{1}'({\bf {t}})&y_{2}'({\bf {t}})&\cdots &y_{N}'({\bf {t}})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(N-1)}({\bf {t}})&y_{2}^{(N-1)}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}^{(N-1)}({\bf {t}})\\\end{vmatrix}}.}$

que da el general N {\ Displaystyle N} -Solución de solitón . ^{[3] [4]}

Soluciones de funciones theta asociadas a curvas algebraicas

Dejar ${\displaystyle X}$ ser una superficie compacta de Riemann del género ${\displaystyle g}$ y fijar una base de homología canónica ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}}$de ${\displaystyle H_{1}(X,\mathbf {Z} )}$ con números de intersección

${\displaystyle a_{i}\circ a_{j}=b_{i}\circ b_{j}=0,\quad a_{i}\circ b_{j}=\delta _{ij},\quad 1\leq i,j\leq g.}$

Dejar ${\displaystyle \{\omega _{i}\}_{i=1,\dots ,g}}$ ser una base para el espacio ${\displaystyle H^{1}(X)}$de diferenciales holomórficos que satisfacen las condiciones de normalización estándar

${\displaystyle \oint _{a_{i}}\omega _{j}=\delta _{ij},\quad \oint _{b_{j}}\omega _{j}=B_{ij},}$

donde ${\displaystyle B}$es la matriz de períodos de Riemann . La matriz${\displaystyle B}$pertenece a la mitad superior del espacio Siegel

${\displaystyle \mathbf {S} _{g}=\left\{B\in \mathrm {Mat} _{g\times g}(\mathbf {C} )\ \colon \ B^{T}=B,\ {\text{Im}}(B){\text{ is positive definite}}\right\}.}$

El Riemann θ {\ Displaystyle \ theta} funcionar en${\displaystyle \mathbf {C} ^{g}}$correspondiente a la matriz del período ${\displaystyle B}$ se define como

${\displaystyle \theta (Z|B):=\sum _{N\in \mathbb {Z} ^{g}}e^{i\pi (N,BN)+2i\pi (N,Z)}.}$

Elige un punto ${\displaystyle p_{\infty }\in X}$, un parámetro local ${\displaystyle \zeta }$ en un barrio de ${\displaystyle p_{\infty }}$ con ${\displaystyle \zeta (p_{\infty })=0}$y un divisor de grado positivo${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}:=\sum _{i=1}^{g}p_{i},\quad p_{i}\in X.}$

Para cualquier entero positivo ${\displaystyle k\in \mathbf {N} ^{+}}$ dejar ${\displaystyle \Omega _{k}}$ser el diferencial meromórfico único del segundo tipo caracterizado por las siguientes condiciones:

• La única singularidad de ${\displaystyle \Omega _{k}}$ es un polo de orden ${\displaystyle k+1}$ a ${\displaystyle p=p_{\infty }}$ con residuos que se desvanecen.
• La expansión de ${\displaystyle \Omega _{k}}$ alrededor ${\displaystyle p=p_{\infty }}$ es

  ${\displaystyle \Omega _{k}=d(\zeta ^{-k})+\sum _{j=1}^{\infty }Q_{ij}\zeta ^{j}d\zeta }$.

• ${\displaystyle \Omega _{k}}$ está normalizado para tener desaparición ${\displaystyle a}$-ciclos:

  ${\displaystyle \oint _{a_{i}}\Omega _{j}=0.}$

Denotamos por ${\displaystyle \mathbf {U} _{k}\in \mathbf {C} ^{g}}$ el vector de ${\displaystyle b}$-ciclos de ${\displaystyle \Omega _{k}}$:

${\displaystyle (\mathbf {U} _{k})_{j}:=\oint _{b_{j}}\Omega _{k}.}$

Denota la imagen de ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$debajo del mapa de Abel${\displaystyle {\mathcal {A}}:{\mathcal {S}}^{g}(X)\to \mathbf {C} ^{g}}$

${\displaystyle \mathbf {E} :={\mathcal {A}}({\mathcal {D}})\in \mathbf {C} ^{g},\quad \mathbf {E} _{j}={\mathcal {A}}_{j}({\mathcal {D}}):=\sum _{j=1}^{g}\int _{p_{0}}^{p_{i}}\omega _{j}}$

con punto base arbitrario ${\displaystyle p_{0}}$.

Entonces el siguiente es un KP ${\displaystyle \tau }$-función:

${\displaystyle \tau _{(X,{\mathcal {D}},p_{\infty },\zeta )}(\mathbf {t} ):=e^{-{1 \over 2}\sum _{ij}Q_{ij}t_{i}t_{j}}\theta \left(\mathbf {E} +\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}\mathbf {U} _{k}{\Big |}B\right).}$

La partición del modelo de matriz funciona como KP ${\displaystyle \tau }$-funciones

Dejar ${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$ ser la medida de Lebesgue en el ${\displaystyle N^{2}}$ espacio dimensional ${\displaystyle {\mathbf {H} }^{N\times N}}$ de ${\displaystyle N\times N}$matrices hermitianas complejas. Dejar${\displaystyle \rho (M)}$ ser una función de densidad integrable invariante de conjugación

${\displaystyle \rho (UMU^{\dagger })=\rho (M),\quad U\in U(N).}$

Definir una familia de medidas de deformación

${\displaystyle d\mu _{N,\rho }(\mathbf {t} ):=e^{{\text{ Tr }}(\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}M^{i})}\rho (M)d\mu _{0}(M)}$

Para pequeños ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\cdots )}$ y deja

${\displaystyle \tau _{N,\rho }({\bf {t}}):=\int _{{\mathbf {H} }^{N\times N}}d\mu _{N,\rho }({\bf {t}}).}$

ser la función de partición para este modelo de matriz aleatoria . ^[7] Entonces${\displaystyle \tau _{N,\rho }(\mathbf {t} )}$satisface la ecuación bilineal de residuos de Hirota ( 1 ), y por lo tanto es un${\displaystyle \tau }$-función de la jerarquía KP. ^[8]

${\displaystyle \tau }$-funciones de tipo hipergeométrico. Función de generación de números de Hurwitz

Dejar ${\displaystyle \{r_{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }}$ser una secuencia (doblemente) infinita de números complejos. Para cualquier partición entera${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})}$definir el coeficiente del producto contenido

${\displaystyle r_{\lambda }:=\prod _{(i,j)\in \lambda }r_{j-i}}$

donde el producto está sobre todos los pares ${\displaystyle (i,j)}$ de enteros positivos que corresponden a cajas del diagrama de Young de la partición ${\displaystyle \lambda }$, vistos como posiciones de elementos de la matriz de la correspondiente ${\displaystyle \ell (\lambda )\times \lambda _{1}}$matriz. Entonces, para cada par de secuencias infinitas${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$y ${\displaystyle \mathbf {s} =(s_{1},s_{2},\dots )}$ de vaiables complejos, vistos como sumas de potencia (normalizadas) ${\displaystyle \mathbf {t} =[\mathbf {x} ],\ \mathbf {s} =[\mathbf {y} ]}$de la secuencia infinita de variables auxiliares ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots )}$ y${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},xy2,\dots )}$, definido por

${\displaystyle t_{j}:={\tfrac {1}{j}}\sum _{a=1}^{\infty }x_{a}^{j},\quad s_{j}:={\tfrac {1}{j}}\sum _{j=1}^{\infty }y_{a}^{j},}$

la función

${\displaystyle \tau ^{r}(\mathbf {t} ,\mathbf {s} ):=\sum _{\lambda }r_{\lambda }s_{\lambda }(\mathbf {t} )s_{\lambda }(\mathbf {s} )}$

es un doble KP${\displaystyle \tau }$-función, tanto en el ${\displaystyle \mathbf {t} }$y el ${\displaystyle \mathbf {s} }$ variables, conocidas como ${\displaystyle \tau }$función de tipo hipergeométrico . ^[9]

En particular, eligiendo

${\displaystyle r_{j}=r_{j}^{\beta }:=e^{j\beta }}$

por algún pequeño parámetro ${\displaystyle \beta }$, que denota el coeficiente de producto de contenido correspondiente como ${\displaystyle r_{\lambda }^{\beta }}$y ambientación ${\displaystyle \mathbf {s} =(1,0,\dots )=:\mathbf {t} _{0}}$, la resultante ${\displaystyle \tau }$-La función se puede expandir de manera equivalente como

${\displaystyle \tau ^{r^{\beta }}(\mathbf {t} ,\mathbf {t} _{0})=\sum _{\lambda }\sum _{d=0}^{\infty }{\frac {\beta ^{d}}{d!}}H_{d}(\lambda )p_{\lambda }(\mathbf {t} ),}$

( 7 )

donde ${\displaystyle H_{d}(\lambda )}$son los números simples de Hurwitz , que son ${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}$ multiplicado por el número de formas en que un elemento ${\displaystyle k_{\lambda }\in {\mathcal {S}}_{n}}$ del grupo simétrico ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ en ${\displaystyle n=|\lambda |}$ elementos, con longitudes de ciclo iguales a las partes de la partición ${\displaystyle \lambda }$, se puede factorizar como un producto de ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2}$-ciclos

${\displaystyle h_{\lambda }=(a_{1}b_{1})\dots (a_{d}b_{d}),}$

y

${\displaystyle p_{\lambda }(\mathbf {t} )=\prod _{i=1}^{\ell (\lambda )}p_{\lambda _{i}}(\mathbf {t} ),{\text{ with }}p_{i}(\mathbf {t} ):=\sum _{a=1}^{\infty }x_{a}^{i}=it_{i}}$

es la función simétrica de suma de potencias. Por tanto, la ecuación ( 7 ) muestra que el KP hipergeométrico (formal)${\displaystyle \tau }$-función correspondiente a los coeficientes del producto contenido ${\displaystyle r_{\lambda }^{\beta }}$es una función generadora, en el sentido combinatorio, para números simples de Hurwitz.^{[10] [11]}

Referencias

1. Hirota, Ryogo (1986). "Reducción de ecuaciones de solitones en forma bilineal". Physica D: Fenómenos no lineales . Elsevier BV. 18 (1-3): 161-170. doi : 10.1016 / 0167-2789 (86) 90173-9 . ISSN  0167-2789 .
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