En matemáticas , dos operadores lineales se denominan isospectral o cospectral si tienen el mismo espectro . En términos generales, se supone que tienen los mismos conjuntos de valores propios , cuando se cuentan con multiplicidad .
La teoría de los operadores isospectrales es marcadamente diferente dependiendo de si el espacio es de dimensión finita o infinita. En dimensiones finitas, se trata esencialmente de matrices cuadradas .
En dimensiones infinitas, el espectro no tiene por qué consistir únicamente en valores propios aislados. Sin embargo, el caso de un operador compacto en un espacio de Hilbert (o espacio de Banach ) todavía es manejable, ya que los valores propios son como mucho contables con como máximo un único punto límite λ = 0. El problema isospectral más estudiado en dimensiones infinitas es el de el operador de Laplace en un dominio en R 2 . Dos de estos dominios se denominan isospectrales si sus laplacianos son isospectrales. El problema de inferir las propiedades geométricas de un dominio a partir del espectro de su laplaciano se conoce a menudo como escuchar la forma de un tambor .
Espacios de dimensión finita
En el caso de operadores en los espacios vectoriales de dimensión finita, por complejas matrices cuadradas, la relación de ser isospectral por dos matrices diagonalizables es sólo similitud . Sin embargo, esto no reduce por completo el interés del concepto, ya que podemos tener una familia isospectral de matrices de forma A ( t ) = M ( t ) −1 AM ( t ) dependiendo de un parámetro t de una manera complicada. Esta es una evolución de una matriz que ocurre dentro de una clase de similitud.
Una idea fundamental de la teoría del solitón fue que el análogo infinitesimal de esa ecuación, a saber
- A ′ = [ A , M ] = AM - MA
estaba detrás de las leyes de conservación que eran responsables de evitar que los solitones se disiparan. Es decir, la preservación del espectro fue una interpretación del mecanismo de conservación. La identificación de los llamados pares Lax (P, L) que dan lugar a ecuaciones análogas, por Peter Lax , mostró cómo la maquinaria lineal podría explicar el comportamiento no lineal.
Variedades isospectrales
Se dice que dos variedades riemannianas cerradas son isospectrales si los valores propios de su operador de Laplace-Beltrami (laplacianos), multiplicidades contadas, coinciden. Uno de los problemas fundamentales de la geometría espectral es preguntarse hasta qué punto los valores propios determinan la geometría de una variedad dada.
Hay muchos ejemplos de variedades isospectrales que no son isométricas. El primer ejemplo lo dio John Milnor en 1964 . Construyó un par de toros planos de 16 dimensiones, utilizando celosías aritméticas estudiadas por primera vez por Ernst Witt . Después de este ejemplo, se construyeron muchos pares isospectrales en dimensión dos y superiores (por ejemplo, por MF Vignéras, A. Ikeda, H. Urakawa, C. Gordon). En particular, Vignéras (1980) , basado en la fórmula de la traza de Selberg para PSL (2, R ) y PSL (2, C ), construyó ejemplos de 2 variedades y 3 variedades hiperbólicas cerradas, isospectrales, no isométricas como cocientes de 2 hiperbólicas. -espacio y 3-espacio por subgrupos aritméticos, construidos usando álgebras de cuaterniones asociadas con extensiones cuadráticas de los racionales por teoría de campo de clases . [1] En este caso, la fórmula de traza de Selberg muestra que el espectro del Laplaciano determina completamente el espectro de longitud [ cita requerida ] , el conjunto de longitudes de geodésicas cerradas en cada clase de homotopía libre, junto con el giro a lo largo de la geodésica en el 3- caso dimensional. [2]
En 1985 Toshikazu Sunada encontró un método general de construcción basado en una técnica de recubrimiento espacial , que, ya sea en su original o en ciertas versiones generalizadas, pasó a ser conocido como el método Sunada o construcción Sunada. Al igual que los métodos anteriores, se basa en la fórmula de seguimiento, a través de la función zeta de Selberg . Sunada notó que el método de construir campos numéricos con la misma función zeta de Dedekind podría adaptarse a variedades compactas. Su método se basa en el hecho de que si M es un recubrimiento finito de una variedad Riemanniana compacta M 0 con G el grupo finito de transformaciones de cubierta y H 1 , H 2 son subgrupos de G que cumplen con cada clase de conjugación de G en el mismo número de elementos. , entonces las variedades H 1 \ M y H 2 \ M son isospectrales pero no necesariamente isométricas. Aunque esto no recupera los ejemplos aritméticos de Milnor y Vignéras [ cita requerida ] , el método de Sunada produce muchos ejemplos conocidos de variedades isospectrales. Condujo a C. Gordon, D. Webb y S. Wolpert al descubrimiento en 1991 de un contraejemplo al problema de Mark Kac " ¿Se puede oír la forma de un tambor? " Un tratamiento elemental, basado en el método de Sunada, fue más tarde dado en Buser et al. (1994) .
La idea de Sunada también estimuló el intento de encontrar ejemplos isospectrales que no podrían obtenerse con su técnica. Entre muchos ejemplos, el más sorprendente es un ejemplo simplemente conectado de Schueth (1999) .
Ver también
Notas
- ^ Maclachlan y Reid 2003
- ^ Esto equivale a conocer la clase de conjugación del elemento de grupo correspondiente en PSL (2, R ) o PSL (2, C ).
Referencias
- Bérard, Pierre (1988-1989), Variétés riemanniennes isospectrales non isométriques, exposé 705 (PDF) , Séminaire Bourbaki, 31
- Brooks, Robert (1988), "Constructing Isospectral Manifolds", American Mathematical Monthly , Asociación Matemática de América, 95 (9): 823–839, doi : 10.2307 / 2322897 , JSTOR 2322897
- Buser, Peter (1986), "Superficies isospectrales de Riemann" (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 36 : 167-192, doi : 10.5802 / aif.1054
- Buser, Peter; Conway, John; Doyle, Peter; Semmler, Klaus-Dieter (1994), "Algunos dominios isospectrales planos" , Int. Matemáticas. Res. Avisos : 391–400
- McKean, HP (1972), "Fórmula de trazas de Selberg aplicada a una superficie compacta de Riemann", Comm. Pure Appl. Matemáticas. , 25 (3): 225–246, doi : 10.1002 / cpa.3160250302
- Maclachlan, C .; Reid, Alan W. (2003), The Arithmetic of Hyperbolic 3-manifolds , Springer, págs. 383–394, ISBN 0387983864,
- Milnor, John (1964), "Autovalores del operador de Laplace en ciertas variedades", Proc. Natl. Acad. Sci. EE . UU. , 51 (4): 542, Bibcode : 1964PNAS ... 51..542M , doi : 10.1073 / pnas.51.4.542 , PMC 300113 , PMID 16591156
- Schueth, D. (1999), "Familias continuas de métricas isospectrales en variedades simplemente conectadas", Annals of Mathematics , 149 (1): 287-308, arXiv : dg-ga / 9711010 , doi : 10.2307 / 121026 , JSTOR 121026
- Selberg, Atle (1956), "Análisis armónico y grupos discontinuos en espacios riemannianos débilmente simétricos con aplicaciones a las series de Dirichlet", J. Indian Math. Soc. , 20 : 47–87
- Sunada, T. (1985), "Coberturas riemannianas y variedades isospectrales", Annals of Mathematics , 121 (1): 169-186, doi : 10.2307 / 1971195 , JSTOR 1971195
- Vignéras, Marie-France (1980), "Variétés riemanniennes isospectrales et non isométriques", Annals of Mathematics , Annals of Mathematics, 112 (1): 21–32, doi : 10.2307 / 1971319 , JSTOR 1971319
- Wolpert, Scott (1977), "El espectro de valores propios como módulos para superficies compactas de Riemann" (PDF) , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 83 (6): 1306–1308, doi : 10.1090 / S0002-9904-1977-14425-X
- Wolpert, Scott (1979), "Los espectros de longitud como módulos para superficies compactas de Riemann", Annals of Mathematics , 109 (2): 323–351, doi : 10.2307 / 1971114 , JSTOR 1971114