En geometría diferencial , el producto tensorial de los paquetes vectoriales E , F (sobre el mismo espacio) es un paquete de vectores, denotado por E ⊗ F , cuya fibra sobre un puntoes el producto tensorial de los espacios vectoriales E x ⊗ F x . [1]
Ejemplo: Si O es un haz línea trivial, entonces E ⊗ O = E para cualquier E .
Ejemplo: E ⊗ E * es canónicamente isomorfo al endomorphism haz End ( E ), donde E * es el doble haz de E .
Ejemplo: un paquete de líneas L tiene tensor inverso: de hecho, L ⊗ L ∗ es (isomorfo a) un paquete trivial según el ejemplo anterior, ya que End ( L ) es trivial. Así, el conjunto de las clases de isomorfismo de todos los paquetes de la línea en un poco de espacio topológico X forma un grupo abeliano llamado el grupo Picard de X .
Variantes
También se puede definir una potencia simétrica y una potencia exterior de un paquete vectorial de forma similar. Por ejemplo, una sección dees un diferencial p -forma y una sección dees un diferencial p -form con valores en un vector de haz E .
Ver también
Notas
- ^ Para construir un paquete de producto tensorial sobre una base paracompacta, primero tenga en cuenta que la construcción es clara para paquetes triviales. Para el caso general, si la base es compacta, elija E ' tal que E ⊕ E ' sea trivial. Elija F ' de la misma manera. Entonces, deje que E ⊗ F sea el subconjunto de ( E ⊕ E ' ) ⊗ ( F ⊕ F ' ) con las fibras deseadas. Finalmente, use el argumento de aproximación para manejar una base no compacta. Consulte Hatcher para obtener un enfoque directo general.
Referencias
- Nacedora, paquetes de vectores y teoría K