En matemáticas , el doble haz de un paquete del vector π : E → X es un vector de haz π * : E * → X cuyas fibras son los duales espacios a las fibras de E . El paquete dual se puede construir utilizando la construcción de paquete asociada tomando la representación dual del grupo de estructura .
Específicamente, dada una trivialización local de E con funciones de transición t ij , una trivialización local de E ∗ viene dada por la misma cubierta abierta de X con funciones de transición t ij ∗ = ( t ij T ) −1 (la inversa de la transpuesta ) . A continuación, se construye el haz doble E ∗ utilizando el teorema de construcción de haces de fibras .
Por ejemplo, el dual al paquete tangente de una variedad diferenciable es el paquete cotangente .
Si el espacio base X es paracompacto y Hausdorff, entonces un paquete de vectores E real de rango finito y su doble E ∗ son isomorfos como paquetes de vectores. Sin embargo, al igual que para los espacios vectoriales , no hay una elección canónica de isomorfismo a menos que E esté equipado con un producto interno . Esto no es cierto en el caso de paquetes de vectores complejos . Por ejemplo, el haz de líneas tautológicas sobre la esfera de Riemann no es isomórfico a su dual.
Referencias
今 野, 宏 (2013).微分 幾何学. 〈現代 数学 へ の 入門〉 (en japonés). 東京: 東京 大学 出版 会. ISBN 9784130629713.