Relación ternaria

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En matemáticas , una relación ternaria o triádica es una relación finitaria en la que el número de lugares en la relación es tres. Ternarias relaciones también pueden ser referidos como 3-adic , 3-ary , 3-dimensional , o 3-lugar .

Así como una relación binaria se define formalmente como un conjunto de pares , es decir, un subconjunto del producto cartesiano A × B de algunos conjuntos A y B , una relación ternaria es un conjunto de triples, formando un subconjunto del producto cartesiano A × B × C de tres conjuntos A , B y C .

Un ejemplo de una relación ternaria en geometría elemental se puede dar en triples de puntos, donde un triple está en la relación si los tres puntos son colineales . Otro ejemplo geométrico se puede obtener considerando triples que constan de dos puntos y una línea, donde un triple está en la relación ternaria si los dos puntos determinan (son incidentes con) la línea.

Ejemplos

Funciones binarias

Más información: Gráfico de una función y función binaria

Una función f : A × B → C en dos variables, mapeando dos valores de los conjuntos A y B , respectivamente, a un valor en C asocia a cada par ( a , b ) en A × B un elemento f ( a ,  b ) en  C . Por lo tanto, su gráfica consta de pares de la forma (( a , b ), f ( a , b )). Tales pares en los que el primer elemento es en sí mismo un par a menudo se identifican con triples. Esto hace que la gráfica de f sea una relación ternaria entre A , B y C , que consta de todos los triples ( a , b , f ( a , b )) , que satisfacen a en A , b en B y f ( a , b ) en C .

Órdenes cíclicas

Artículo principal: orden cíclico

Dado cualquier conjunto A cuyos elementos están dispuestos en un círculo, se puede definir una relación ternaria R sobre A , es decir, un subconjunto de A ³ = A × A × A , estipulando que R ( a , b , c ) se cumple si y solo Si los elementos de una , b y c son pairwise diferente y cuando se pasa de una a c en una dirección en sentido horario se pasa a través de b . Por ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } representa las horas en un reloj , luego R (8, 12, 4) se mantiene y R (12, 8, 4 ) no se sostiene.

Relaciones de intermediación

Artículo principal: Relación de intermediación

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Relación de equivalencia ternaria

Artículo principal: Relación de equivalencia ternaria

Esta sección necesita expansión . Puede ayudar agregando más . ( Agosto de 2020 )

Relación de congruencia

Artículo principal: Congruence modulo m

La congruencia ordinaria de la aritmética.

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$

que posee por tres números enteros un , b , y m si y sólo si m divide un  -  b , formalmente puede ser considerado como una relación ternaria. Sin embargo, por lo general, esto se considera en cambio como una familia de relaciones binarias entre a y b , indexadas por el módulo m . Para cada m fijo , en efecto, esta relación binaria tiene algunas propiedades naturales, como ser una relación de equivalencia ; mientras que la relación ternaria combinada en general no se estudia como una sola relación.

Relación de escritura

Artículo principal: Cálculo lambda simplemente tipeado § Reglas de tipeo

Una relación de tipificación indica que es un término de tipo en contexto y, por lo tanto, es una relación ternaria entre contextos, términos y tipos.${\displaystyle \Gamma \vdash e\!:\!\sigma }$${\displaystyle e}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Gamma }$

Reglas de Schröder

Dadas las relaciones homogéneas A , B , y C en un conjunto, una relación ternaria pueden ser definidos usando la composición de las relaciones AB y la inclusión AB ⊆ C . Dentro del cálculo de relaciones cada relación A tiene una relación inversa A ^T y una relación de complemento Usando estas involuciones , Augustus De Morgan y Ernst Schröder demostraron que es equivalente ay también equivalente a${\displaystyle (A,\ B,\ C)}$ ${\displaystyle {\bar {A}}.}$${\displaystyle (A,\ B,\ C)}$${\displaystyle ({\bar {C}},B^{T},{\bar {A}})}$${\displaystyle (A^{T},\ {\bar {C}},\ {\bar {B}}).}$Las equivalencias mutuas de estas formas, construidas a partir de la relación ternaria ( A, B, C ), se denominan reglas de Schröder . ^[1]

Referencias

1. Gunther Schmidt y Thomas Ströhlein (1993) Relaciones y gráficos , páginas 15-19, libros de Springer

Lectura adicional

• Myers, Dale (1997), "Un isomorfismo interpretativo entre relaciones binarias y ternarias", en Mycielski, Jan; Rozenberg, Grzegorz; Salomaa, Arto (eds.), Structures in Logic and Computer Science , Lecture Notes in Computer Science, 1261 , Springer, págs. 84-105, doi : 10.1007 / 3-540-63246-8_6 , ISBN 3-540-63246-8
• Novák, Vítězslav (1996), "Estructuras ternarias y semigrupos parciales", Checoslovaco Mathematical Journal , 46 (1): 111–120, hdl : 10338.dmlcz / 127275
• Novák, Vítězslav; Novotný, Miroslav (1989), "Relaciones ternarias transitivas y cuasiordenados", Archivum Mathematicum , 25 (1–2): 5–12, hdl : 10338.dmlcz / 107333
• Novák, Vítězslav; Novotný, Miroslav (1992), "Relaciones binarias y ternarias", Mathematica Bohemica , 117 (3): 283-292, hdl : 10338.dmlcz / 126278
• Novotný, Miroslav (1991), "Estructuras ternarias y agrupaciones", Revista matemática checoslovaca , 41 (1): 90–98, hdl : 10338.dmlcz / 102437
• Šlapal, Josef (1993), "Relations and topologies", Checoslovak Mathematical Journal , 43 (1): 141-150, hdl : 10338.dmlcz / 128381