Teorema del gnomon

Ciertos paralelogramos que se encuentran en un gnomon tienen áreas de igual tamaño

Gnomon: Teorema del Gnomon: área verde = área roja,${\displaystyle ABFPGD}$

${\displaystyle |AHGD|=|ABFI|,\,|HBFP|=|IPGD|}$

El teorema del gnomon establece que ciertos paralelogramos que ocurren en un gnomon tienen áreas de igual tamaño.

Teorema

En un paralelogramo con un punto en la diagonal, el paralelo pasante interseca el lado hacia adentro y el lado hacia adentro . De manera similar, el paralelo al lado pasante interseca el lado hacia adentro y el lado hacia adentro . El teorema del gnomon ahora establece que los paralelogramos y tienen áreas iguales. ^{[1] [2]}${\displaystyle ABCD}$${\displaystyle P}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle AD}$${\displaystyle P}$${\displaystyle CD}$${\displaystyle G}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle H}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle P}$${\displaystyle AD}$${\displaystyle I}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle F}$${\displaystyle HBFP}$${\displaystyle IPGD}$

Gnomon es el nombre de la figura en forma de L que consta de dos paralelogramos superpuestos y . Los paralelogramos de igual área y se llaman complementos (de los paralelogramos en diagonal y ). ^[3]${\displaystyle ABFI}$${\displaystyle AHGD}$${\displaystyle HBFP}$${\displaystyle IPGD}$${\displaystyle PFCG}$${\displaystyle AHPI}$

Prueba

La demostración del teorema es sencilla si se consideran las áreas del paralelogramo principal y los dos paralelogramos internos alrededor de su diagonal:

• primero, la diferencia entre el paralelogramo principal y los dos paralelogramos internos es exactamente igual al área combinada de los dos complementos;
• en segundo lugar, los tres están divididos en dos por la diagonal. Esto produce: ^[4]

${\displaystyle |IPGD|={\frac {|ABCD|}{2}}-{\frac {|AHPI|}{2}}-{\frac {|PFCG|}{2}}=|HBFP|}$

Aplicaciones y extensiones

representación geométrica de una división

Transfiriendo la relación de una partición del segmento de línea AB al segmento de línea HG: ${\displaystyle {\tfrac {|AH|}{|HB|}}={\tfrac {|HP|}{|PG|}}}$

El teorema del gnomon se puede usar para construir un nuevo paralelogramo o rectángulo de igual área a un paralelogramo o rectángulo dado por medio de construcciones de regla y compás . Esto también permite la representación de una división de dos números en términos geométricos, una característica importante para reformular problemas geométricos en términos algebraicos. Más precisamente, si se dan dos números como longitudes de segmentos de línea, se puede construir un tercer segmento de línea, cuya longitud coincide con el cociente de esos dos números (ver diagrama). Otra aplicación es transferir la relación de partición de un segmento de línea a otro segmento de línea (de diferente longitud), dividiendo así ese otro segmento de línea en la misma relación que un segmento de línea dado y su partición (ver diagrama). ^[1]

${\displaystyle \mathbb {A} }$es el paralepípedo (inferior) alrededor de la diagonal con y sus complementos , y tienen el mismo volumen:${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {B} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle |\mathbb {B} |=|\mathbb {C} |=|\mathbb {D} |}$

Se puede hacer una afirmación similar en tres dimensiones para los paralelepípedos . En este caso, tiene un punto en la diagonal espacial de un paralelepípedo, y en lugar de dos líneas paralelas, tiene tres planos , cada uno paralelo a las caras del paralelepípedo. Los tres planos dividen el paralelepípedo en ocho paralelepípedos más pequeños; dos de ellos rodean la diagonal y se encuentran en . Ahora, cada uno de esos dos paralelepípedos alrededor de la diagonal tiene tres de los seis paralelepípedos restantes unidos a él, y esos tres juegan el papel de los complementos y tienen el mismo volumen (ver diagrama). ^[2]${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

Teorema general sobre paralelogramos anidados

teorema general:
área de grenn = área azul - área roja

El teorema de gnomon es un caso especial de un enunciado más general sobre paralelogramos anidados con una diagonal común. Para un paralelogramo dado, considere un paralelogramo interno arbitrario que también tiene una diagonal. Además, hay dos paralelogramos determinados de forma única y cuyos lados son paralelos a los lados del paralelogramo exterior y que comparten el vértice con el paralelogramo interior. Ahora, la diferencia de las áreas de esos dos paralelogramos es igual al área del paralelogramo interno, es decir: ^[2]${\displaystyle ABCD}$${\displaystyle AFCE}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle GFHD}$${\displaystyle IBJF}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle |AFCE|=|GFHD|-|IBJF|}$

Esta declaración produce el teorema del gnomon si uno mira un paralelogramo interno degenerado cuyos vértices están todos en la diagonal . Esto significa en particular para los paralelogramos y , que su punto común está en la diagonal y que la diferencia de sus áreas es cero, que es exactamente lo que establece el teorema del gnomon.${\displaystyle AFCE}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle GFHD}$${\displaystyle IBJF}$${\displaystyle F}$

Aspectos históricos

El teorema del gnomon se describió ya en los Elementos de Euclides (alrededor del 300 a. C.) y allí juega un papel importante en la derivación de otros teoremas. Se da como proposición 43 en el Libro I de los Elementos, donde se expresa como una declaración sobre paralelogramos sin usar el término gnomon. Euclides introduce este último como la segunda definición del segundo libro de Elementos. Otros teoremas para los que el gnomon y sus propiedades juegan un papel importante son la proposición 6 del Libro II, la proposición 29 del Libro VI y las proposiciones 1 a 4 del Libro XIII. ^{[5] [4] [6]}

Referencias

• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie . Springer 2016, ISBN  9783662530344 , págs. 190–191 (alemán)
• George W. Evans: Algebra de Euclides . El profesor de matemáticas, vol. 20, núm. 3 (marzo de 1927), págs. 127-141 ( JSTOR )
• William J. Hazard: Generalizaciones del Teorema de Pitágoras y Teorema de Euclides del Gnomon . The American Mathematical Monthly, vol. 36, núm. 1 (enero de 1929), págs. 32–34 ( JSTOR )
• Paolo Vighi, Igino Aschieri: del arte a las matemáticas en las pinturas de Theo van Doesburg . En: Vittorio Capecchi, Massimo Buscema, Pierluigi Contucci, Bruno D'Amore (editores): Aplicaciones de las matemáticas en modelos, redes neuronales artificiales y artes . Springer, 2010, ISBN 9789048185818 , págs. 601–610 

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Gnomons (geometría) .

• Teorema del gnomon y definición del gnomon en los elementos de Euclides

Notas

1. Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie . Springer 2016, ISBN 9783662530344 , págs. 190-191 
2. William J. Hazard: Generalizaciones del Teorema de Pitágoras y Teorema de Euclides del Gnomon . The American Mathematical Monthly, volumen 36, no. 1 (enero de 1929), págs. 32–34 ( JSTOR )
3. Johannes Tropfke : Geschichte der Elementarmathematik Ebene Geometrie - Banda 4: Ebene Geometrie . Walter de Gruyter, 2011, ISBN 9783111626932 , págs. 134-135 (alemán) 
4. Roger Herz-Fischler: una historia matemática del número de oro . Dover, 2013, ISBN 9780486152325 , págs. 35–36 
5. Paolo Vighi, Igino Aschieri: del arte a las matemáticas en las pinturas de Theo van Doesburg . En: Vittorio Capecchi, Massimo Buscema, Pierluigi Contucci, Bruno D'Amore (editores): Aplicaciones de las matemáticas en modelos, redes neuronales artificiales y artes . Springer, 2010, ISBN 9789048185818 , págs. 601–610, en particular págs. 603–606 
6. George W. Evans: Algebra de Euclides . El profesor de matemáticas, Volumen 20, no. 3 (marzo de 1927), págs. 127-141 ( JSTOR )