En geometría , un gnomon es una figura plana formada al quitar un paralelogramo similar de una esquina de un paralelogramo más grande; o, más generalmente, una figura que, sumada a una figura dada, hace una figura más grande de la misma forma. [1]
Construyendo números figurados
Los números figurados eran una preocupación de las matemáticas pitagóricas , y a Pitágoras se le atribuye la noción de que estos números se generan a partir de un gnomon o unidad básica. El gnomon es la pieza que debe agregarse a un número figurado para transformarlo en el siguiente más grande. [2]
Por ejemplo, el gnomon del número cuadrado es el número impar , de la forma general 2 n + 1, n = 1, 2, 3, .... El cuadrado de tamaño 8 compuesto por gnomones se ve así:
Para transformar del n-cuadrado (el cuadrado de tamaño n ) al ( n + 1) -cuadrado, uno se une a 2 n + 1 elementos: uno al final de cada fila ( n elementos), uno al final de cada columna ( n elementos), y uno solo en la esquina. Por ejemplo, al transformar el cuadrado de 7 en el cuadrado de 8, agregamos 15 elementos; estos adjuntos son los 8 en la figura anterior.
Esta técnica gnomónica también proporciona una prueba de que la suma de los primeros n números impares es n 2 ; la figura ilustra 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8 2 . Aplicar la misma técnica a una tabla de multiplicar demuestra que cada número triangular al cuadrado es una suma de cubos. [3]
Triángulos isósceles
En un triángulo isósceles agudo , es posible dibujar un triángulo similar pero más pequeño, uno de cuyos lados es la base del triángulo original. El gnomon de estos dos triángulos similares es el triángulo que queda cuando el más pequeño de los dos triángulos isósceles similares se elimina del más grande. El gnomon es en sí mismo isósceles si y solo si la razón de los lados a la base del triángulo isósceles original, y la razón de la base a los lados del gnomon, es la razón áurea , en cuyo caso el triángulo isósceles agudo es el triángulo dorado y su gnomon es el gnomon dorado . [4] Por el contrario, el triángulo áureo agudo puede ser el gnomon del triángulo áureo obtuso en un intercambio recíproco excepcional de roles [5]
triángulo dorado dividido en un triángulo dorado más pequeño y el gnomon dorado (obtuso)
El triángulo áureo obtuso es el gnomon del triángulo áureo agudo
El triángulo áureo agudo es el gnomon del triángulo áureo obtuso
Metáfora y simbolismo
Una metáfora basada en la geometría de un gnomon juega un papel importante en el análisis literario de los dublineses de James Joyce , involucrando tanto un juego de palabras entre "parálisis" y "paralelogramo", y el significado geométrico de un gnomon como algo fragmentario, disminuido de su forma completa. [6] [7] [8] [9]
Las formas de Gnomon también son prominentes en la Composición aritmética I , una pintura abstracta de Theo van Doesburg . [10]
También hay un cuento de hadas geométrico muy corto ilustrado por animaciones donde los gnomons juegan el papel de invasores [11]
Ver también
Referencias
- ^ Gazalé, Midhat J. (1999), Gnomon: De faraones a fractales , Princeton University Press, ISBN 9780691005140.
- ^ Deza, Elena; Deza, Michel (2012), Números figurados , World Scientific, p. 3, ISBN 9789814355483.
- ^ Row, T. Sundara (1893), Ejercicios geométricos en el plegado de papel , Madras: Addison, págs. 46–48.
- ^ Loeb, Arthur L. (1993), "The Golden Triangle", Concepts & Images: Visual Mathematics , Design Science Collection, Springer, págs. 179-192, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0343-8_20 , ISBN 978-1-4612-6716-4
- ^ Pietrocola, Giorgio (2005). "Colección Gnomons" . Maecla .
- ^ Friedrich, Gerhard (1957), "The Gnomonic Clue to James Joyce's Dubliners", Modern Language Notes , 72 (6): 421–424, JSTOR 3043368.
- ^ Weir, David (1991), "Gnomon Is an Island: Euclid and Bruno in Joyce's Narrative Practice", James Joyce Quarterly , 28 (2): 343–360, JSTOR 25485150.
- ^ Friedrich, Gerhard (1965), "The Perspective of Joyce's Dubliners", College English , 26 (6): 421–426, JSTOR 373448.
- ^ Reichert, Klaus (1988), "Fragmento y totalidad" , en Scott, Bonnie Kime (ed.), Nuevas alianzas en los estudios de Joyce: cuando se parece a un Delfian , University of Delaware Press, págs. 86-87, ISBN 9780874133288
- ^ Vighi, Paola; Aschieri, Igino (2010), "Del arte a las matemáticas en las pinturas de Theo van Doesburg", en Capecchi, Vittorio; Buscema, Massimo; Contucci, Pierluigi; et al. (eds.), Aplicaciones de las matemáticas en modelos, artes y redes neuronales artificiales , matemáticas y sociedad, Springer, págs. 601–610, doi : 10.1007 / 978-90-481-8581-8_27 , ISBN 978-90-481-8580-1.
- ^ Pietrocola, Giorgio (2005). "Golden King y la invasión de los gnomons" . Maecla ..