En física , la longitud de onda térmica de De Broglie () es aproximadamente la longitud de onda promedio de De Broglie de las partículas de gas en un gas ideal a la temperatura especificada. Podemos considerar que el espaciado promedio entre partículas en el gas es aproximadamente ( V / N ) 1/3 donde V es el volumen y N es el número de partículas. Cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es mucho menor que la distancia entre partículas, se puede considerar que el gas es un gas clásico o de Maxwell-Boltzmann . Por otro lado, cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es del orden o mayor que la distancia entre partículas, los efectos cuánticos dominarán y el gas debe tratarse como un gas de Fermi.o un gas Bose , dependiendo de la naturaleza de las partículas de gas. La temperatura crítica es el punto de transición entre estos dos regímenes y, a esta temperatura crítica, la longitud de onda térmica será aproximadamente igual a la distancia entre partículas. Es decir, la naturaleza cuántica del gas será evidente para
es decir, cuando la distancia entre partículas es menor que la longitud de onda térmica de De Broglie; en este caso, el gas obedecerá las estadísticas de Bose-Einstein o las estadísticas de Fermi-Dirac , según corresponda. Este es, por ejemplo, el caso de los electrones en un metal típico a T = 300 K , donde el gas de electrones obedece a las estadísticas de Fermi-Dirac , o en un condensado de Bose-Einstein . Por otro lado, para
es decir, cuando la distancia entre partículas es mucho mayor que la longitud de onda térmica de De Broglie, el gas obedecerá las estadísticas de Maxwell-Boltzmann . [1] Tal es el caso de los gases moleculares o atómicos a temperatura ambiente y de los neutrones térmicos producidos por una fuente de neutrones .
Partículas masivas
Para partículas masivas que no interactúan, la longitud de onda térmica de De Broglie se puede derivar del cálculo de la función de partición . Suponiendo una caja unidimensional de longitud L , la función de partición es (usando los estados de energía de la partícula 1D en una caja ):
Dado que los niveles de energía están muy próximos entre sí, podemos aproximar esta suma como una integral: [2]
Por eso,
dónde es la constante de Planck , m es la masa de una partícula de gas,es la constante de Boltzmann y T es la temperatura del gas. [1]
Esto también se puede expresar usando la constante de Planck reducida como:
Partículas sin masa
Para una partícula sin masa, la longitud de onda térmica se puede definir como:
donde c es la velocidad de la luz. Al igual que con la longitud de onda térmica para partículas masivas, esta es del orden de la longitud de onda promedio de las partículas en el gas y define un punto crítico en el que los efectos cuánticos comienzan a dominar. Por ejemplo, cuando se observa el espectro de longitud de onda larga de la radiación del cuerpo negro, se puede aplicar la ley "clásica" de Rayleigh-Jeans , pero cuando las longitudes de onda observadas se acercan a la longitud de onda térmica de los fotones en el radiador de cuerpo negro , el "cuántico" de Planck debe utilizarse la ley .
Definición general de la longitud de onda térmica
Yan ha dado una definición general de la longitud de onda térmica para un gas cuántico ideal en cualquier número de dimensiones y para una relación generalizada entre energía y momento (relación de dispersión) (Yan 2000). Es de importancia práctica, ya que existen muchas situaciones experimentales con diferentes dimensiones y relaciones de dispersión. Si n es el número de dimensiones, y la relación entre la energía ( E ) y el momento ( p ) viene dada por:
donde a y s son constantes, entonces la longitud de onda térmica se define como:
donde Γ es la función Gamma . Por ejemplo, en el caso habitual de partículas masivas en un gas 3-D tenemos n = 3 , y E = p 2 /2 m que da los resultados anteriores para partículas masivas. Para partículas sin masa en un gas tridimensional, tenemos n = 3 y E = p c, lo que da los resultados anteriores para partículas sin masa.
Ejemplos de
A continuación se dan algunos ejemplos de la longitud de onda térmica de De Broglie a 298 K.
Molécula | (kg) | (metro) |
---|---|---|
H 2 | 3.3474E-27 | 7.1228E-11 |
N 2 | 4.6518E-26 | 1.91076E-11 |
O 2 | 5.31352E-26 | 1.78782E-11 |
F 2 | 6.30937E-26 | 1.64105E-11 |
Cl 2 | 1.1614E-25 | 1.2093E-11 |
HCl | 5.97407E-26 | 1.68586E-11 |
Referencias
- ^ a b Charles Kittel; Herbert Kroemer (1980). Física Térmica (2 ed.). WH Freeman. pag. 73 . ISBN 978-0716710882.
- ^ Schroeder, Daniel (2000). Introducción a la física térmica . Estados Unidos: Addison Wesley Longman. págs. 253 . ISBN 0-201-38027-7.
- Zijun Yan, "Longitud de onda térmica general y sus aplicaciones", European Journal of Physics , 21 (2000) 625–631. http://www.iop.org/EJ/article/0143-0807/21/6/314/ej0614.pdf
- Vu-Quoc, L., Configuración integral (mecánica estadística) , 2008. este sitio wiki está inactivo; consulte este artículo en el archivo web el 28 de abril de 2012 .