La miniaturización de componentes siempre ha sido un objetivo principal en la industria de los semiconductores porque reduce los costos de producción y permite a las empresas construir computadoras y otros dispositivos más pequeños. Sin embargo, la miniaturización ha aumentado la potencia disipada por unidad de área y la ha convertido en un factor limitante clave en los circuitos integrados.actuación. El aumento de temperatura se vuelve relevante para cables de secciones transversales relativamente pequeñas, donde puede afectar el comportamiento normal de los semiconductores. Además, dado que la generación de calor es proporcional a la frecuencia de operación de los circuitos de conmutación, las computadoras rápidas generan una mayor generación de calor que las lentas, un efecto no deseado para los fabricantes de chips. Este artículo resume los conceptos físicos que describen la generación y conducción de calor en un circuito integrado y presenta métodos numéricos que modelan la transferencia de calor desde un punto de vista macroscópico.
Generación y transferencia de calor
Ley de Fourier
A nivel macroscópico, la ley de Fourier establece una relación entre el calor transmitido por unidad de tiempo por unidad de área y el gradiente de temperatura:
Dónde es la conductividad térmica, [W · m −1 K −1 ].
Calentamiento Joule
Los sistemas electrónicos funcionan en base a señales de corriente y voltaje. La corriente es el flujo de partículas cargadas a través del material y estas partículas (electrones o huecos), interactúan con la red del cristal perdiendo su energía que se libera en forma de calor. Joule Heating es un mecanismo predominante para la generación de calor en circuitos integrados [1] y es un efecto no deseado en la mayoría de los casos. Para un material óhmico, tiene la forma:
Dónde es la densidad de corriente en [A · m −2 ], es la resistividad eléctrica específica en [· M] y es el calor generado por unidad de volumen en [W · m −3 ]. [1]
Ecuación de transferencia de calor
La ecuación que rige la física del problema de transferencia de calor relaciona el flujo de calor en el espacio, su variación en el tiempo y la generación de energía mediante la siguiente expresión:
Dónde es la conductividad térmica, es la densidad del medio, es el calor específico, , la difusividad térmica y es la tasa de generación de calor por unidad de volumen. El calor se difunde desde la fuente siguiendo la ecuación anterior y la solución en un medio homogéneo sigue una distribución gaussiana.
Técnicas para resolver la ecuación de calor
Transformación de Kirchhoff
Para deshacerse de la dependencia de la temperatura de , Se puede realizar la transformación de Kirchhoff [2]
dónde y es la temperatura del disipador de calor. Al aplicar esta transformación, la ecuación de calor se convierte en:
dónde se llama difusividad, [2] que también depende de la temperatura. Para linealizar completamente la ecuación, se emplea una segunda transformación:
dando la expresión:
La aplicación simple y directa de esta ecuación requiere una aproximación. Los términos adicionales que surgen en el Laplaciano transformado se eliminan, dejando al Laplaciano en su forma convencional. [2]
Soluciones analíticas
Aunque las soluciones analíticas solo se pueden encontrar para casos específicos y simples, brindan una buena visión para hacer frente a situaciones más complejas. Las soluciones analíticas para subsistemas regulares también se pueden combinar para proporcionar descripciones detalladas de estructuras complejas. En el trabajo del Prof. Batty, [2] se introduce una expansión en serie de Fourier a la temperatura en el dominio de Laplace para encontrar la solución a la ecuación de calor linealizada.
Ejemplo
Este procedimiento se puede aplicar a un caso simple pero no trivial: un dado de cubo homogéneo hecho de GaAs, L = 300 um. El objetivo es encontrar la distribución de temperatura en la superficie superior. La superficie superior se discretiza en cuadrados más pequeños con índice i = 1 ... N. Uno de ellos se considera la fuente.
Llevando la transformada de Laplace a la ecuación del calor:
dónde
Función se expande en términos de funciones coseno para el y variables y en términos de cosenos y senos hiperbólicos para variable. A continuación, aplicando condiciones de contorno adiabáticas en las paredes laterales y temperatura fija en la parte inferior (temperatura del disipador de calor), se deriva la ecuación de la matriz de impedancia térmica:
Donde el índice representa las fuentes de energía, mientras que el índice se refiere a cada área pequeña.
Para obtener más detalles sobre la derivación, consulte el artículo del profesor Batty. [2] La siguiente figura muestra la distribución de temperatura en estado estacionario de este método analítico para una matriz cúbica, con dimensiones de 300 um. Se aplica una fuente de energía constante de 0.3W sobre una superficie central de dimensión 0.1L x 0.1L. Como se esperaba, la distribución decae a medida que se acerca a los límites, su máximo se ubica en el centro y casi alcanza los 400K
Soluciones numéricas
Las soluciones numéricas utilizan una malla de la estructura para realizar la simulación. Los métodos más populares son: método de diferencia finita en el dominio del tiempo (FDTD) , método de elementos finitos (FEM) y método de momentos (MoM).
El método de dominio de tiempo de diferencias finitas (FDTD) es una técnica robusta y popular que consiste en resolver ecuaciones diferenciales numéricamente así como ciertas condiciones de contorno definidas por el problema. Esto se hace discretizando el espacio y el tiempo, y usando fórmulas de diferenciación finita, por lo que las ecuaciones diferenciales parciales que describen la física del problema pueden resolverse numéricamente por programas de computadora.
El FEM es también un esquema numérico empleado para resolver problemas matemáticos y de ingeniería descritos por ecuaciones diferenciales, así como por condiciones de contorno. Discretiza el espacio en elementos más pequeños para los que se asignan funciones de base a sus nodos o bordes. Las funciones básicas son polinomios lineales o de orden superior. Aplicando la ecuación diferencial y las condiciones de contorno del problema a las funciones base, se formula un sistema de ecuaciones utilizando el método de Ritz o de Galerkin . Finalmente, se emplea un método directo o iterativo para resolver el sistema de ecuaciones lineales. [3] Para el caso térmico, el método FEM es más adecuado debido a la naturaleza no lineal de las propiedades térmicas.
Ejemplo
El ejemplo anterior se puede resolver con un método numérico. Para este caso, el cubo puede discretizarse en elementos rectangulares. Sus funciones básicas se pueden elegir para que sean una aproximación de primer orden (lineal):
dónde . Si, luego .
Usando estas funciones base y luego de aplicar el método de Galerkin a la ecuación de transferencia de calor, se obtiene una ecuación matricial:
dónde,
- .
Estas expresiones se pueden evaluar utilizando un código FEM simple. Para obtener más detalles, consulte. [3] La siguiente figura muestra la distribución de temperatura para el caso de solución numérica. Esta solución muestra muy buena concordancia con el caso analítico, su pico también alcanza los 390 K en el centro. La aparente falta de uniformidad de la distribución proviene de la aproximación de primer orden de las funciones base y esto puede resolverse utilizando funciones base de orden superior. Además, se podrían obtener mejores resultados empleando una malla más densa de la estructura; sin embargo, para mallas muy densas, el tiempo de cálculo aumenta mucho, lo que hace que la simulación no sea práctica.
La siguiente figura muestra una comparación de la temperatura máxima en función del tiempo para ambos métodos. El sistema alcanza el estado estable en aproximadamente.
Reducción de pedidos de modelos
Los métodos numéricos como FEM o FDM derivan una ecuación matricial como se muestra en la sección anterior. Para resolver esta ecuación más rápido, se puede emplear un método llamado Reducción del orden del modelo para encontrar una aproximación de orden inferior. Este método se basa en el hecho de que un vector de estado de alta dimensión pertenece a un subespacio de baja dimensión [1] .
La figura siguiente muestra el concepto de la aproximación MOR: encontrando la matriz V, la dimensión del sistema se puede reducir para resolver un sistema simplificado.
Por lo tanto, el sistema de ecuación original:
se convierte en:
Cuyo orden es mucho más bajo que el original, lo que hace que el cálculo sea mucho menos costoso. Una vez obtenida la solución, el vector original se encuentra tomando el producto con V.
Conclusión
La generación de calor se produce principalmente por calentamiento por joules, este efecto no deseado ha limitado el rendimiento de los circuitos integrados. En el artículo preestablecido se describió la conducción de calor y se presentaron métodos analíticos y numéricos para resolver un problema de transferencia de calor. Usando estos métodos, se calculó la distribución de temperatura en estado estable, así como la temperatura máxima en función del tiempo para un dado cúbico. Para una potencia de entrada de (o ) aplicada sobre una sola fuente de superficie en la parte superior de una matriz cúbica, se calculó un incremento máximo de temperatura del orden de 100 K. Tal aumento de temperatura puede afectar el comportamiento de los dispositivos semiconductores circundantes. Parámetros importantes como la movilidad cambian drásticamente. Es por eso que la disipación de calor es un tema relevante y debe tenerse en cuenta para el diseño de circuitos.
Ver también
Referencias
- ^ a b T. Bechtold, EV Rudnyi y J. G Korvink, " Simulación electrotérmica dinámica de microsistemas: una revisión ", Journal of Micromechanics and Microengineering. vol. 15, págs. R17-R31, 2005
- ^ a b c d e W. Batty, CE Christoffersen, AJ Panks, S. David, CM Snowden, MB Steer, " CAD electrotérmico de dispositivos y circuitos de potencia con modelado térmico compacto totalmente físico dependiente del tiempo de sistemas complejos 3-d no lineales , ”IEEE Trans. Comp. y Pack. Technologies, vol. 24, no. 4, págs. 566–590, 2001.
- ^ a b J.-M. Jin, El método de los elementos finitos en electromagnetismo. Nueva York: Wiley, 2a ed., 2002