Conjunto delgado (Serre)
En matemáticas , un conjunto delgado en el sentido de Serre , llamado así por Jean-Pierre Serre , es un cierto tipo de subconjunto construido en geometría algebraica sobre un campo K dado , mediante operaciones permitidas que son en un sentido definido 'improbables'. Los dos fundamentales son: resolver una ecuación polinomial que puede o no ser el caso; resolviendo dentro de K un polinomio que no siempre se factoriza. También se permite tomar uniones finitas.
Más precisamente, sea V una variedad algebraica sobre K (las suposiciones aquí son: V es un conjunto irreducible , una variedad cuasi-proyectiva , y K tiene la característica cero ). Un conjunto delgado de tipo I es un subconjunto de V ( K ) que no es Zariski-denso . Eso significa que se encuentra en un conjunto algebraico que es una unión finita de variedades algebraicas de dimensión inferior a d , la dimensión de V . Una capa delgada tipo II es una imagen de unmorfismo algebraico (esencialmente un mapeo polinomial) φ, aplicado a los puntos K de alguna otra variedad algebraica d -dimensional V ′, que se mapea esencialmente en V como una cubierta ramificada con grado e > 1. Dicho esto de manera más técnica, un conjunto delgado de tipo II es cualquier subconjunto de
donde V ′ satisface los mismos supuestos que V y φ es genéricamente sobreyectiva desde el punto de vista del geómetra. En el nivel de los campos de función tenemos por lo tanto
Mientras que un punto típico v de V es φ( u ) con u en V ′, a partir de v que se encuentra en K ( V ) podemos concluir típicamente solo que las coordenadas de u provienen de resolver una ecuación de grado e sobre K . Todo el objeto de la teoría de los conjuntos delgados es entonces entender que la solubilidad en cuestión es un evento raro. Esto reformula en términos más geométricos el clásico teorema de irreductibilidad de Hilbert .
La terminología delgada puede justificarse por el hecho de que si A es un subconjunto delgado de la línea sobre Q entonces el número de puntos de A de altura máxima H es ≪ H : el número de puntos integrales de altura máxima H es , y este resultado es el mejor posible. [1]
Un resultado de SD Cohen, basado en el método del gran tamiz , extiende este resultado, contando puntos por función de altura y mostrando, en un sentido fuerte, que un conjunto delgado contiene una baja proporción de ellos (esto se discute extensamente en Lectures on de Serre). el teorema de Mordell-Weil ). Sea A un conjunto delgado en un espacio n afín sobre Q y sea N ( H ) el número de puntos integrales de altura ingenua como máximo H . entonces [2]