En matemáticas , la fórmula de Thomae es una fórmula introducida por Carl Johannes Thomae ( 1870 ) que relaciona las constantes theta con los puntos de ramificación de una curva hiperelíptica ( Mumford 1984 , sección 8).
Historia
En 1824, el teorema de Abel-Ruffini estableció que las ecuaciones polinómicas de un grado de cinco o más no podían tener solución en radicales . Desde entonces, quedó claro para los matemáticos que era necesario ir más allá de los radicales para poder expresar las soluciones de las ecuaciones de quinto grado y grados superiores. En 1858, Charles Hermite , Leopold Kronecker y Francesco Brioschi descubrieron de forma independiente que la ecuación quíntica podía resolverse con trascendentes elípticos . Esto resultó ser una generalización del radical, que se puede escribir como:
Con la restricción a solo este exponencial, como lo muestra la teoría de Galois , solo se pueden construir composiciones de extensiones abelianas , lo que es suficiente solo para ecuaciones de cuarto grado e inferiores. Se requiere algo más general para ecuaciones de mayor grado, por lo que para resolver la quíntica, Hermite, et al. reemplazó la exponencial por una función modular elíptica y la integral (logaritmo) por una integral elíptica . Kronecker creía que se trataba de un caso especial de un método aún más general. [1] Camille Jordan mostró [2] que cualquier ecuación algebraica puede resolverse mediante el uso de funciones modulares. Esto fue logrado por Thomae en 1870. [3] El proceso implicó reemplazar la exponencial en la raíz n-ésima y la función modular elíptica en el enfoque de Hermite, et al. por formas modulares de Siegel aún más generales y la integral por una integral hiperelíptica . Hiroshi Umemura [4] expresó estas funciones modulares en términos de funciones theta de género superior .
Fórmula
Si tenemos una función polinomial :
con irreductible sobre un cierto subcampo de los números complejos, entonces sus raícespuede expresarse mediante la siguiente ecuación que involucra funciones theta de argumento cero ( constantes theta ):
dónde es la matriz de períodos derivada de una de las siguientes integrales hiperelípticas:
Si es de grado impar, o
Si es de grado uniforme.
Esta fórmula se aplica a cualquier ecuación algebraica de cualquier grado sin necesidad de una transformación de Tschirnhaus o cualquier otra manipulación para llevar la ecuación a una forma normal específica, como la forma de Bring-Jerrard para la quíntica. Sin embargo, la aplicación de esta fórmula en la práctica es difícil porque las integrales hiperelípticas relevantes y las funciones theta de género superior son muy complejas.
Notas
- ^ Kronecker, Leopold (1858). "Sur la résolution de l'equation du cinquème degré". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 46 : 1150-1152.
- ^ Jordan, Camille (1870). Traité des substitutions et des équations algébriques . París: Gauthier-Villars.
- ^ Thomae, Carl Johannes (1870). "Beitrag zur Bestimmung von θ (0,0, ... 0) durch die Klassenmoduln algebraischer Funktionen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 71 : 201–222.
- ^ Umemura, Hiroshi (1984). "Resolución de ecuaciones algebraicas por constantes theta". En David Mumford (ed.). Conferencias Tata sobre Theta II . Birkhäuser. págs. 3.261–3.272. ISBN 3-7643-3109-7.
Referencias
- Mumford, David (1984), Tata da conferencias sobre theta. II , Progreso en Matemáticas, 43 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3110-9, MR 0742776
- Thomae, Carl Johannes (1870), "Beitrag zur Bestimmung von θ (0,0, ... 0) durch die Klassenmoduln algebraischer Funktionen" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 71 : 201–222