En matemáticas , las formas modulares de Siegel son un tipo importante de forma automórfica . Estos generalizan formas modulares elípticas convencionales que están estrechamente relacionadas con las curvas elípticas . Las variedades complejas construidas en la teoría de las formas modulares de Siegel son variedades modulares de Siegel , que son modelos básicos de lo que debería ser un espacio de módulos para las variedades abelianas (con alguna estructura de nivel adicional ) y se construyen como cocientes del semiespacio superior de Siegel en lugar de que el semiplano superior por grupos discretos .
Las formas modulares de Siegel son funciones holomórficas en el conjunto de matrices simétricas n × n con parte imaginaria definida positiva ; las formas deben satisfacer una condición de automorfía. Las formas modulares de Siegel se pueden considerar como formas modulares multivariables, es decir, como funciones especiales de varias variables complejas .
Las formas modulares de Siegel fueron investigadas por primera vez por Carl Ludwig Siegel ( 1939 ) con el propósito de estudiar analíticamente las formas cuadráticas . Estos surgen principalmente en varias ramas de la teoría de números , como la geometría aritmética y la cohomología elíptica . Las formas modulares de Siegel también se han utilizado en algunas áreas de la física , como la teoría de campos conforme y la termodinámica de los agujeros negros en la teoría de cuerdas .
Definición
Preliminares
Dejar y definir
el semiespacio superior de Siegel . Definir el grupo simpléctico de nivel, denotado por como
dónde es el matriz de identidad . Finalmente, deja
ser una representación racional , dondees un espacio vectorial complejo de dimensión finita .
Forma modular Siegel
Dado
y
definir la notación
Entonces una función holomorfa
es una forma modular de Siegel de grado (a veces llamado género), peso y nivel Si
para todos . En el caso de que, además requerimos que ser holomórfico 'en el infinito'. Esta suposición no es necesaria paradebido al principio de Koecher, que se explica a continuación. Denota el espacio de peso, la licenciatura y nivel Formas modulares Siegel por
Ejemplos de
Algunos métodos para construir formas modulares Siegel incluyen:
- Serie de Eisenstein
- Funciones theta de celosías (posiblemente con un polinomio pluri-armónico)
- Elevación de Saito – Kurokawa para el grado 2
- Ascensor Ikeda
- Elevador Miyawaki
- Productos de formas modulares Siegel.
Nivel 1, grado pequeño
Para el grado 1, las formas modulares Siegel de nivel 1 son las mismas que las formas modulares de nivel 1. El anillo de tales formas es un anillo polinomial C [ E 4 , E 6 ] en la serie Eisenstein (grado 1) E 4 y E 6 .
Para el grado 2, (Igusa 1962 , 1967 ) mostró que el anillo de formas modulares Siegel de nivel 1 es generado por las series E 4 y E 6 (grado 2) de Eisenstein y 3 formas más de pesos 10, 12 y 35. El ideal de relaciones entre ellos se genera por el cuadrado de la forma de peso 35 menos cierto polinomio en los demás.
Para el grado 3, Tsuyumine (1986) describió el anillo de formas modulares Siegel de nivel 1, dando un conjunto de 34 generadores.
Para el grado 4, se han encontrado las formas modulares Siegel de nivel 1 de pesos pequeños. No hay formas de cúspide de pesos 2, 4 o 6. El espacio de formas de cúspide de peso 8 es unidimensional, atravesado por la forma de Schottky . El espacio de las formas de cúspide de peso 10 tiene dimensión 1, el espacio de formas de cúspide de peso 12 tiene dimensión 2, el espacio de formas de cúspide de peso 14 tiene dimensión 3 y el espacio de formas de cúspide de peso 16 tiene dimensión 7 ( Deficiente Y Yuen 2007 ) .
Para el grado 5, el espacio de las formas de las cúspides tiene la dimensión 0 para el peso 10, la dimensión 2 para el peso 12. El espacio de las formas del peso 12 tiene la dimensión 5.
Para el grado 6, no hay formas de cúspide de pesos 0, 2, 4, 6, 8. El espacio de las formas modulares de Siegel de peso 2 tiene dimensión 0, y los de pesos 4 o 6 tienen dimensión 1.
Nivel 1, peso pequeño
Para pesos pequeños y nivel 1, Duke e Imamoḡlu (1998) dan los siguientes resultados (para cualquier grado positivo):
- Peso 0: el espacio de las formas es unidimensional, dividido en 1.
- Peso 1: la única forma modular de Siegel es 0.
- Peso 2: la única forma modular de Siegel es 0.
- Peso 3: La única forma modular de Siegel es 0.
- Peso 4: Para cualquier grado, el espacio de formas de peso 4 es unidimensional, atravesado por la función theta de la red E 8 (del grado apropiado). La única forma de cúspide es 0.
- Peso 5: la única forma modular de Siegel es 0.
- Peso 6: El espacio de las formas del peso 6 tiene dimensión 1 si el grado es como máximo 8 y dimensión 0 si el grado es al menos 9. La única forma de cúspide es 0.
- Peso 7: El espacio de las formas de las cúspides desaparece si el grado es 4 o 7.
- Peso 8: en el género 4, el espacio de las formas de las cúspides es unidimensional, atravesado por la forma de Schottky y el espacio de las formas es bidimensional. No hay formas de cúspide si el género es 8.
- No hay formas de cúspide si el género pesa más del doble.
Tabla de dimensiones de espacios de nivel 1 formas modulares Siegel
La siguiente tabla combina los resultados anteriores con información de Poor & Yuen (2006)
y Chenevier & Lannes (2014) y Taïbi (2014) .Peso | grado 0 | grado 1 | grado 2 | grado 3 | grado 4 | grado 5 | grado 6 | grado 7 | grado 8 | grado 9 | grado 10 | grado 11 | grado 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 |
2 | 1: 1 | 0: 0 | 0: 0 | 0: 0 | 0: 0 | 0: 0 | 0: 0 | 0: 0 | 0: 0 | 0: 0 | 0: 0 | 0: 0 | 0: 0 |
4 | 1: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 |
6 | 1: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 0 | 0: 0 | 0: 0 | 0: 0 |
8 | 1: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 0: 1 | 1: 2 | 0: 2 | 0: 2 | 0: 2 | 0: 2 | ||||
10 | 1: 1 | 0: 1 | 1: 2 | 0: 2 | 1: 3 | 0: 3 | 1: 4 | 0: 4 | 1: | 0: | 0: | ||
12 | 1: 1 | 1: 2 | 1: 3 | 1: 4 | 2: 6 | 2: 8 | 3:11 | 3:14 | 4:18 | 2:20 | 2:22 | 1:23 | 1:24 |
14 | 1: 1 | 0: 1 | 1: 2 | 1: 3 | 3: 6 | 3: 9 | 9:18 | 9:27 | |||||
dieciséis | 1: 1 | 1: 2 | 2: 4 | 3: 7 | 7:14 | 13:27 | 33:60 | 83: 143 | |||||
18 | 1: 1 | 1: 2 | 2: 4 | 4: 8 | 12:20 | 28: 48 | 117: 163 | ||||||
20 | 1: 1 | 1: 2 | 3: 5 | 6: 11 | 22: 33 | 76: 109 | 486: 595 | ||||||
22 | 1: 1 | 1: 2 | 4: 6 | 9:15 | 38:53 | 186: 239 | |||||||
24 | 1: 1 | 2: 3 | 5: 8 | 14: 22 | |||||||||
26 | 1: 1 | 1: 2 | 5: 7 | 17: 24 | |||||||||
28 | 1: 1 | 2: 3 | 7:10 | 27: 37 | |||||||||
30 | 1: 1 | 2: 3 | 8:11 | 34: 45 |
Principio de Koecher
El teorema conocido como el principio de Koecher establece que si es una forma modular de peso de Siegel , nivel 1 y grado , luego está limitado a subconjuntos de de la forma
dónde . Corolario de este teorema es el hecho de que las formas modulares de grado de Siegeltienen expansiones de Fourier y, por lo tanto, son holomórficas en el infinito. [1]
Aplicaciones a la física
En el sistema D1D5P de agujeros negros supersimétricos en la teoría de cuerdas, la función que captura naturalmente los microestados de la entropía del agujero negro es una forma modular de Siegel. [2] En general, se ha descrito que las formas modulares de Siegel tienen el potencial de describir agujeros negros u otros sistemas gravitacionales. [2]
Las formas modulares de Siegel también tienen usos como funciones generadoras para familias de CFT2 con carga central creciente en la teoría de campo conforme , particularmente la correspondencia hipotética AdS / CFT . [3]
Referencias
- ^ Esto fue probado por Max Koecher , Zur Theorie der Modulformen n-diez Grades I , Mathematische. Zeitschrift 59 (1954), 455–466. Un principio correspondiente para las formas modulares de Hilbert aparentemente se conocía antes, después de Fritz Gotzky, Uber eine zahlentheoretische Anwendung von Modulfunktionen zweier Veranderlicher , Math. Ana. 100 (1928), págs.411-37
- ^ a b Belin, Alexandre; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (11 de abril de 2017). "Formas modulares Siegel y entropía del agujero negro". Revista de Física de Altas Energías . 2017 (4). arXiv : 1611.04588 . doi : 10.1007 / JHEP04 (2017) 057 .
- ^ Belin, Alexandre; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (7 de noviembre de 2018). "Formas paramodulares Siegel y escasez en AdS3 / CFT2". Revista de Física de Altas Energías . 2018 (11). arXiv : 1805.09336 . doi : 10.1007 / JHEP11 (2018) 037 .
- Chenevier, Gaëtan; Lannes, Jean (2014), Formes automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier , arXiv : 1409.7616 , Bibcode : 2014arXiv1409.7616C
- Duke, W .; Imamoḡlu, Ö. (1998), "Formas modulares Siegel de pequeño peso", Matemáticas. Ana. , 310 (1): 73–82, doi : 10.1007 / s002080050137 , MR 1600030
- Freitag, E. (1983), Siegelsche Modulfunktionen , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 254. Springer-Verlag, Berlín, doi : 10.1007 / 978-3-642-68649-8 , ISBN 978-3-540-11661-5, MR 0871067
- van der Geer, Gerard (2008), "Las formas modulares Siegel y sus aplicaciones", El 1-2-3 de las formas modulares, 181–245 , Universitext, Berlín: Springer, págs. 181–245, arXiv : math / 0605346 , doi : 10.1007 / 978-3-540-74119-0_3 , ISBN 978-3-540-74117-6, MR 2409679
- Igusa, Jun-ichi (1962), "Sobre las formas modulares Siegel del género dos", Amer. J. Math. , 84 (1): 175–200, doi : 10.2307 / 2372812 , JSTOR 2372812 , MR 0141643
- Klingen, Helmut (2003), Conferencias introductorias sobre las formas modulares Siegel , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35052-5
- Siegel, Carl Ludwig (1939), "Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades", Matemáticas. Ana. , 116 : 617–657, doi : 10.1007 / bf01597381 , MR 0001251
- Taïbi, Olivier (2014), Dimensiones de espacios de formas automórficas de nivel uno para grupos clásicos divididos utilizando la fórmula de trazas , arXiv : 1406.4247 , Bibcode : 2014arXiv1406.4247T
- Tsuyumine, Shigeaki (1986), "Sobre las formas modulares Siegel de grado tres", Amer. J. Math. , 108 (4): 755–862, doi : 10.2307 / 2374517 , JSTOR 2374517 , MR 0853217