En matemáticas , una transformación de Tschirnhaus , también conocida como transformación de Tschirnhausen , es un tipo de mapeo sobre polinomios desarrollado por Ehrenfried Walther von Tschirnhaus en 1683. Puede definirse convenientemente mediante la teoría de campos , como la transformación en polinomios mínimos implicada por una diferente elección del elemento primitivo . Ésta es la transformación más general de un polinomio irreducible que toma una raíz de alguna función racional aplicada a esa raíz.
En detalle, deja ser un campo, y un polinomio sobre . Sies irreducible, entonces el anillo cociente del anillo de polinomios por el ideal principal generado por,
- ,
es una extensión de campo de. Tenemos
dónde es modulo . Es decir, cualquier elemento de es un polinomio en , que es, por tanto, un elemento primitivo de . Habrá otras opciones de elemento primitivo en : para cualquier elección de tendremos por definición:
- ,
con polinomios y encima . Ahora si es el polinomio mínimo para encima , podemos llamar una transformación Tschirnhaus de.
Por lo tanto, el conjunto de todas las transformaciones de Tschirnhaus de un polinomio irreducible debe describirse como que abarca todas las formas de cambio. , pero dejando lo mismo. Este concepto se utiliza para reducir las quínticas a la forma Bring-Jerrard , por ejemplo. Existe una conexión con la teoría de Galois , cuandoes una extensión de Galois de. El grupo de Galois puede entonces considerarse como todas las transformaciones de Tschirnhaus de a sí mismo.
Ver también
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Transformación de Tschirnhausen" . MathWorld .
- El artículo de Tschirnhaus de 1683 "Un método para eliminar todos los términos intermedios de una ecuación dada" , traducción de RF Green (2003).