En álgebra , una función quíntica es una función de la forma
donde una , b , c , d , e y f son miembros de un campo , típicamente los números racionales , los números reales o los números complejos , y una es distinta de cero. En otras palabras, una función quíntica está definida por un polinomio de grado cinco.
Debido a que tienen un grado impar, las funciones quínticas normales parecen similares a las funciones cúbicas normales cuando se grafican, excepto que pueden poseer un máximo local adicional y un mínimo local cada uno. La derivada de una función quíntica es una función cuártica .
Establecer g ( x ) = 0 y asumir a ≠ 0 produce una ecuación quíntica de la forma:
Resolver ecuaciones quínticas en términos de radicales fue un problema importante en álgebra desde el siglo XVI, cuando se resolvieron las ecuaciones cúbicas y cuárticas , hasta la primera mitad del siglo XIX, cuando se demostró la imposibilidad de una solución tan general con el método Abel-Ruffini teorema .
Encontrar raíces de una ecuación quíntica
Encontrar las raíces de un polinomio dado ha sido un problema matemático destacado.
Siempre se puede resolver ecuaciones lineales , cuadráticas , cúbicas y cuárticas por factorización en radicales , sin importar si las raíces son racionales o irracionales, reales o complejas; hay fórmulas que dan las soluciones requeridas. Sin embargo, no existe una expresión algebraica (es decir, en términos de radicales) para las soluciones de ecuaciones quínticas generales sobre las racionales; esta declaración se conoce como el teorema de Abel-Ruffini , afirmado por primera vez en 1799 y completamente probado en 1824. Este resultado también es válido para ecuaciones de grados superiores. Un ejemplo de una quíntica cuyas raíces no se pueden expresar en términos de radicales es x 5 - x + 1 = 0 .
Algunas quínticas se pueden resolver en términos de radicales. Sin embargo, la solución es generalmente demasiado compleja para ser utilizada en la práctica. En cambio, las aproximaciones numéricas se calculan utilizando un algoritmo de búsqueda de raíces para polinomios .
Quínticas solucionables
Algunas ecuaciones quínticas se pueden resolver en términos de radicales. Estos incluyen las ecuaciones quínticas definidas por un polinomio que es reducible , como x 5 - x 4 - x + 1 = ( x 2 + 1) ( x + 1) ( x - 1) 2 . Por ejemplo, se ha demostrado [1] que
tiene soluciones en radicales si y solo si tiene una solución entera o r es uno de ± 15, ± 22440 o ± 2759640, en cuyo caso el polinomio es reducible.
Como la resolución de ecuaciones quínticas reducibles se reduce inmediatamente a la resolución de polinomios de menor grado, en el resto de esta sección solo se consideran las ecuaciones quínticas irreducibles, y el término "quíntica" se referirá únicamente a las quínticas irreductibles. Una quíntica resoluble es, por tanto, un polinomio quíntico irreducible cuyas raíces pueden expresarse en términos de radicales.
Para caracterizar las quínticas solubles y, en general, los polinomios solubles de grado superior, Évariste Galois desarrolló técnicas que dieron lugar a la teoría de grupos y la teoría de Galois . Aplicando estas técnicas, Arthur Cayley encontró un criterio general para determinar si una quintica dada es solucionable. [2] Este criterio es el siguiente. [3]
Dada la ecuación
la transformación de Tschirnhaus x = y -B/5 a, que deprime la quintica (es decir, elimina el término de grado cuatro), da la ecuación
- ,
dónde
Ambas quínticas se pueden resolver mediante radicales si y solo si son factorizables en ecuaciones de grados inferiores con coeficientes racionales o el polinomio P 2 - 1024 z Δ , denominadoEl resolutivo de Cayley , tiene una raíz racional enz, donde
y
El resultado de Cayley nos permite probar si una quíntica tiene solución. Si es el caso, encontrar sus raíces es un problema más difícil, que consiste en expresar las raíces en términos de radicales que involucran los coeficientes de la quíntica y la raíz racional del resolutivo de Cayley.
En 1888, George Paxton Young [4] describió cómo resolver una ecuación quíntica resoluble, sin proporcionar una fórmula explícita; Daniel Lazard escribió una fórmula de tres páginas (Lazard (2004)).
Quintics en forma Bring-Jerrard
Hay varias representaciones paramétricas de quínticas resolubles de la forma x 5 + ax + b = 0 , llamadas forma Bring-Jerrard .
Durante la segunda mitad del siglo XIX, John Stuart Glashan, George Paxton Young y Carl Runge dieron tal parametrización: una quintica irreductible con coeficientes racionales en forma de Bring-Jerrard se puede resolver si y solo si a = 0 o puede ser escrito
donde μ y ν son racionales.
En 1994, Blair Spearman y Kenneth S. Williams dieron una alternativa,
La relación entre las parametrizaciones de 1885 y 1994 se puede ver definiendo la expresión
donde a = 5 (4 ν + 3)/ν 2 + 1. Utilizando el caso negativo de la raíz cuadrada se obtiene, después de escalar las variables, la primera parametrización mientras que el caso positivo da la segunda.
La sustitución c = - m/l 5, e = 1/len la parametrización de Spearman-Williams permite no excluir el caso especial a = 0 , dando el siguiente resultado:
Si un y b son números racionales, la ecuación x 5 + ax + b = 0 es resoluble por radicales si cualquiera de su lado izquierdo es un producto de polinomios de grado menor que 5 con coeficientes racionales o existen dos números racionales l y soy tal que
Raíces de una quíntica solucionable
Una ecuación polinomial se puede resolver mediante radicales si su grupo de Galois es un grupo que se puede resolver . En el caso de las quínticas irreductibles, el grupo de Galois es un subgrupo del grupo simétrico S 5 de todas las permutaciones de un conjunto de cinco elementos, que se puede resolver si y solo si es un subgrupo del grupo F 5 , de orden 20 , generado por las permutaciones cíclicas (1 2 3 4 5) y (1 2 4 3) .
Si la quíntica se puede resolver, una de las soluciones puede representarse mediante una expresión algebraica que incluya una quinta raíz y como máximo dos raíces cuadradas, generalmente anidadas . Las otras soluciones se pueden obtener cambiando la quinta raíz o multiplicando todas las ocurrencias de la quinta raíz por la misma potencia de una quinta raíz primitiva de unidad.
Las cuatro quintas raíces primitivas de la unidad se pueden obtener cambiando apropiadamente los signos de las raíces cuadradas, a saber:
dónde , produciendo las cuatro quintas raíces primitivas distintas de la unidad.
De ello se deduce que se pueden necesitar cuatro raíces cuadradas diferentes para escribir todas las raíces de una quíntica solucionable. Incluso para la primera raíz que involucra como máximo dos raíces cuadradas, la expresión de las soluciones en términos de radicales suele ser muy complicada. Sin embargo, cuando no se necesita raíz cuadrada, la forma de la primera solución puede ser bastante simple, como para la ecuación x 5 - 5 x 4 + 30 x 3 - 50 x 2 + 55 x - 21 = 0 , para la cual el único la verdadera solución es
Un ejemplo de una solución más complicada (aunque lo suficientemente pequeña como para escribirla aquí) es la raíz real única de x 5 - 5 x + 12 = 0 . Sea a = √ 2 φ −1 , b = √ 2 φ , y c = 4 √ 5 , donde φ = 1+ √ 5/2es la proporción áurea . Entonces la única solución real x = −1.84208… viene dada por
o, de manera equivalente, por
donde y i son las cuatro raíces de la ecuación cuártica
De manera más general, si una ecuación P ( x ) = 0 de grado primo p con coeficientes racionales se puede resolver en radicales, entonces se puede definir una ecuación auxiliar Q ( y ) = 0 de grado p - 1 , también con coeficientes racionales, tal que cada raíz de P es la suma de p raíces -ésimo de las raíces de Q . Estas raíces p -th fueron introducidas por Joseph-Louis Lagrange , y sus productos por p se denominan comúnmente solventes de Lagrange . El cálculo de Q y sus raíces se puede utilizar para resolver P ( x ) = 0 . Sin embargo, estas p -ésimas raíces pueden no calcularse de forma independiente (esto proporcionaría p p –1 raíces en lugar de p ). Por lo tanto, una solución correcta debe expresar todas estas p -raíces en términos de una de ellas. La teoría de Galois muestra que esto siempre es teóricamente posible, incluso si la fórmula resultante puede ser demasiado grande para ser de alguna utilidad.
Es posible que algunas de las raíces de Q sean racionales (como en el primer ejemplo de esta sección) o algunas sean cero. En estos casos, la fórmula para las raíces es mucho más simple, como para el solucionable de Moivre quintic
donde la ecuación auxiliar tiene dos raíces cero y se reduce, al factorizarlas, a la ecuación cuadrática
tal que las cinco raíces de la quintic de Moivre están dadas por
donde y i es cualquier raíz de la ecuación cuadrática auxiliar y ω es cualquiera de las cuatro quintas raíces primitivas de la unidad . Esto se puede generalizar fácilmente para construir un séptico con solución y otros grados impares, no necesariamente primarios.
Otras quínticas solucionables
Hay infinitas quínticas solucionables en forma de Bring-Jerrard que se han parametrizado en una sección anterior.
Hasta la escala de la variable, hay exactamente cinco quínticas de la forma que se pueden resolver. , que son [5] (donde s es un factor de escala):
Paxton Young (1888) dio varios ejemplos de quínticas solucionables:
Raíz:
Se puede construir una secuencia infinita de quínticas resolubles, cuyas raíces son sumas de n -ésimas raíces de unidad , siendo n = 10 k + 1 un número primo:
Raíces: Raíz: Raíz: Raíz: Raíz:
También hay dos familias parametrizadas de quínticas solubles: la quíntica de Kondo-Brumer,
y la familia en función de los parámetros
dónde
Casus irreducibilis
De manera análoga a las ecuaciones cúbicas , hay quínticas resolubles que tienen cinco raíces reales, todas cuyas soluciones en radicales involucran raíces de números complejos. Esto es casus irreducibilis para la quintica, que se discute en Dummit. [6] : p.17 De hecho, si una quintica irreductible tiene todas las raíces reales, ninguna raíz puede expresarse puramente en términos de radicales reales (como ocurre con todos los grados polinomiales que no son potencias de 2).
Más allá de los radicales
Aproximadamente en 1835, Jerrard demostró que las quínticas se pueden resolver utilizando ultraradicales (también conocidos como radicales Bring), la raíz real única de t 5 + t - a = 0 para los números reales a . En 1858, Charles Hermite demostró que el radical Bring podía caracterizarse en términos de las funciones theta de Jacobi y sus funciones modulares elípticas asociadas , utilizando un enfoque similar al enfoque más familiar de resolver ecuaciones cúbicas mediante funciones trigonométricas . Aproximadamente al mismo tiempo, Leopold Kronecker , utilizando la teoría de grupos , desarrolló una forma más sencilla de derivar el resultado de Hermite, al igual que Francesco Brioschi . Más tarde, Felix Klein ideó un método que relaciona las simetrías del icosaedro , la teoría de Galois y las funciones modulares elípticas que aparecen en la solución de Hermite, dando una explicación de por qué deberían aparecer, y desarrolló su propia solución en términos de funciones hipergeométricas generalizadas . [7] Fenómenos similares ocurren en los grados 7 ( ecuaciones sépticas ) y 11 , según lo estudiado por Klein y discutido en Simetría icosaédrica § Geometrías relacionadas .
Resolviendo con Bring radicales
Una transformación de Tschirnhaus , que puede calcularse resolviendo una ecuación cuártica , reduce la ecuación quíntica general de la forma
a la forma normal de Bring-Jerrard x 5 - x + t = 0 .
Las raíces de esta ecuación no se pueden expresar mediante radicales. Sin embargo, en 1858, Charles Hermite publicó la primera solución conocida de esta ecuación en términos de funciones elípticas . [8] Aproximadamente al mismo tiempo Francesco Brioschi [9] y Leopold Kronecker [10] encontraron soluciones equivalentes.
Consulte Bring radical para obtener detalles sobre estas soluciones y algunas relacionadas.
Aplicación a la mecánica celeste
Resolver las ubicaciones de los puntos lagrangianos de una órbita astronómica en la que las masas de ambos objetos no son despreciables implica resolver una quíntica.
Más precisamente, las ubicaciones de L 2 y L 1 son las soluciones a las siguientes ecuaciones, donde las fuerzas gravitacionales de dos masas en una tercera (por ejemplo, el Sol y la Tierra en satélites como Gaia en L 2 y SOHO en L 1 ) proporcionar la fuerza centrípeta del satélite necesaria para estar en una órbita sincrónica con la Tierra alrededor del Sol:
El signo ± corresponde a L 2 y L 1 , respectivamente; G es la constante gravitacional , ω la velocidad angular , r la distancia del satélite a la Tierra, R la distancia del Sol a la Tierra (es decir, el semieje mayor de la órbita de la Tierra) y m , M E y M S son las respectivas masas de satélite, Tierra y Sol .
Usando la tercera ley de Kepler y reorganizar todos los términos produce la quíntica
con , , , (entonces d = 0 para L 2 ), , .
Resolviendo estas dos quínticas se obtiene r = 1.501 x 10 9 m para L 2 y r = 1.491 x 10 9 m para L 1 . Los puntos Lagrangianos Sol-Tierra L 2 y L 1 generalmente se dan a 1,5 millones de km de la Tierra.
Ver también
- Ecuación séxtica
- Función séptica
- Teoría de ecuaciones
Notas
- ^ Michele Elia, Piero Filipponi, "Ecuaciones de la forma Bring-Jerrard, la sección áurea y números cuadrados de Fibonacci", Fibonacci Quarterly 36 : 282-286 (junio-julio de 1998) texto completo
- ^ A. Cayley, "Sobre una nueva ecuación auxiliar en la teoría de la ecuación de quinto orden", Transacciones filosóficas de la Royal Society of London 151 : 263-276 (1861) doi : 10.1098 / rstl.1861.0014
- ^ Esta formulación del resultado de Cayley se extrae del artículo de Lazard (2004).
- ^ George Paxton Young, "Ecuaciones quínticas solucionables con coeficientes conmensurables", American Journal of Mathematics 10 : 99-130 (1888), JSTOR 2369502
- ^ Noam Elkies, "Trinomios ax n + bx + c con interesantes grupos de Galois" http://www.math.harvard.edu/~elkies/trinomial.html
- ^ David S. Dummit Resolver quínticas solubles
- ↑ ( Klein 1888 ) ; se da una exposición moderna en ( Tóth 2002 , Sección 1.6, Tema adicional: Teoría del icosaedro de Klein, p. 66 )
- ^ Hermite, Charles (1858). "Sur la résolution de l'équation du cinquième degré". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . XLVI (I): 508–515.
- ^ Brioschi, Francesco (1858). "Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado". Atti Dell'i. R. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti . I : 275-282.
- ^ Kronecker, Leopold (1858). "Sur la resolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . XLVI (I): 1150-1152.
Referencias
- Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Œuvres de Charles Hermite , 2 : 5-21, Gauthier-Villars, 1908.
- Felix Klein, Conferencias sobre el icosaedro y la solución de ecuaciones de quinto grado , trad. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. ISBN 0-486-49528-0 .
- Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 46 : 1: 1150-1152 1858.
- Blair Spearman y Kenneth S. Williams, "Caracterización de quínticas solucionables x 5 + ax + b , American Mathematical Monthly , 101 : 986–992 (1994).
- Ian Stewart, Segunda edición de la teoría de Galois , Chapman y Hall, 1989. ISBN 0-412-34550-1 . Discute la Teoría de Galois en general incluyendo una prueba de insolubilidad de la quintica general.
- Jörg Bewersdorff , Teoría de Galois para principiantes: una perspectiva histórica , American Mathematical Society, 2006. ISBN 0-8218-3817-2 . El capítulo 8 ( La solución de ecuaciones de quinto grado en la Wayback Machine (archivado el 31 de marzo de 2010)) ofrece una descripción de la solución de quínticas solucionables x 5 + cx + d .
- Victor S. Adamchik y David J. Jeffrey, "Transformaciones polinómicas de Tschirnhaus, Bring y Jerrard", ACM SIGSAM Bulletin , vol. 37, núm. 3, septiembre de 2003, págs. 90–94.
- Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "Un método para eliminar todos los términos intermedios de una ecuación dada", ACM SIGSAM Bulletin , vol. 37, núm. 1, marzo de 2003, págs. 1-3.
- Daniel Lazard, "Resolviendo quínticas en radicales", en Olav Arnfinn Laudal , Ragni Piene , The Legacy of Niels Henrik Abel , pp. 207-225, Berlín, 2004, ISBN 3-540-43826-2 , disponible en Archivado el 6 de enero de 2005 en Wayback Machine.
- Tóth, Gábor (2002), Grupos finitos de Möbius, inmersiones mínimas de esferas y módulos
enlaces externos
- Mathworld - Ecuación de Quintic : más detalles sobre los métodos para resolver Quintics.
- Resolución de quínticas solucionables : un método para resolver quínticas solucionables debido a David S. Dummit.
- Un método para eliminar todos los términos intermedios de una ecuación dada : una traducción reciente al inglés del artículo de Tschirnhaus de 1683.