fórmula de Thomas
En matemáticas , la fórmula de Thomae es una fórmula introducida por Carl Johannes Thomae ( 1870 ) que relaciona las constantes theta con los puntos de ramificación de una curva hiperelíptica ( Mumford 1984 , sección 8).
En 1824 el teorema de Abel-Ruffini estableció que las ecuaciones polinómicas de grado cinco o mayor no podían tener soluciones en radicales . Desde entonces, quedó claro para los matemáticos que era necesario ir más allá de los radicales para expresar las soluciones de las ecuaciones de quinto grado y superiores. En 1858, Charles Hermite , Leopold Kronecker y Francesco Brioschi descubrieron de forma independiente que la ecuación quíntica podía resolverse con trascendentes elípticas . Esto resultó ser una generalización del radical, que se puede escribir como:
Con la restricción a solo este exponencial, como lo muestra la teoría de Galois , solo se pueden construir composiciones de extensiones abelianas , lo que es suficiente solo para ecuaciones de cuarto grado e inferiores. Se requiere algo más general para ecuaciones de mayor grado, por lo que para resolver la quíntica, Hermite, et al. reemplazó la exponencial por una función modular elíptica y la integral (logaritmo) por una integral elíptica . Kronecker creía que éste era un caso especial de un método aún más general. [1] Camille Jordan demostró [2] que cualquier ecuación algebraica puede resolverse mediante el uso de funciones modulares. Esto fue logrado por Thomae en 1870. [3]El proceso involucró reemplazar el exponencial en la raíz n-ésima y la función modular elíptica en el enfoque de Hermite, et al. por formas modulares de Siegel aún más generales y la integral por una integral hiperelíptica . Hiroshi Umemura [4] expresó estas funciones modulares en términos de funciones theta de género superior .
con irreductible sobre un cierto subcampo de los números complejos, entonces sus raíces pueden expresarse mediante la siguiente ecuación que involucra funciones theta de argumento cero ( constantes theta ):
donde es la matriz de períodos derivada de una de las siguientes integrales hiperelípticas:
si es de grado impar, o
