En topología , el lema de Urysohn es un lema que establece que un espacio topológico es normal si y solo si dos subconjuntos cerrados disjuntos pueden separarse mediante una función continua . [1]
El lema de Urysohn se usa comúnmente para construir funciones continuas con varias propiedades en espacios normales. Es ampliamente aplicable ya que todos los espacios métricos y todos los espacios compactos de Hausdorff son normales. El lema está generalizado (y generalmente se usa en la demostración) del teorema de extensión de Tietze .
El lema lleva el nombre del matemático Pavel Samuilovich Urysohn .
Discusión
Se dice que dos subconjuntos A y B de un espacio topológico X están separados por vecindarios si hay vecindarios U de A y V de B que son disjuntos. En particular, A y B están necesariamente separados.
Se dice que dos subconjuntos simples A y B están separados por una función si existe una función continua f desde X en el intervalo unitario [0,1] tal que f ( a ) = 0 para todo a en A y f ( b ) = 1 para todos b en B . Cualquier tal función se llama una función Urysohn para A y B . En particular, A y B están necesariamente separados.
De ello se deduce que si dos subconjuntos A y B están separados por una función, también lo están sus cierres.
También se deduce que si dos subconjuntos A y B están separados por una función, entonces A y B están separados por vecindarios.
Un espacio normal es un espacio topológico en el que dos conjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por vecindarios. El lema de Urysohn establece que un espacio topológico es normal si y solo si dos conjuntos cerrados disjuntos pueden separarse mediante una función continua.
Los conjuntos A y B no tienen que ser separados precisamente por f , es decir, no lo hacemos, y en general puede no, requerimos que f ( x ) ≠ 0 y ≠ 1 para x fuera de A y B . Los espacios en los que se aloja esta propiedad son los espacios perfectamente normales .
El lema de Urysohn ha llevado a la formulación de otras propiedades topológicas como la 'propiedad de Tychonoff' y los 'espacios completamente de Hausdorff'. Por ejemplo, un corolario del lema es que los espacios T 1 normales son Tychonoff .
Declaración formal
Un espacio topológico X es normal si y solo si, para dos subconjuntos separados A y B separados no vacíos de X , existe un mapa continuo tal que y .
Boceto de prueba
El procedimiento es una aplicación completamente sencilla de la definición de normalidad (una vez que se dibujan algunas figuras que representan los primeros pasos en la inducción que se describe a continuación para ver qué está sucediendo), comenzando con dos conjuntos cerrados disjuntos. La parte inteligente de la demostración es la indexación de los conjuntos abiertos así construidos por fracciones diádicas.
Para cada fracción diádica r ∈ (0,1), vamos a construir un subconjunto abierto U ( r ) de X tal que:
- U ( r ) contiene A y es disjunto de B para todo r ,
- Para r < s , el cierre de U ( r ) está contenido en U ( s ).
Una vez que tenemos estos conjuntos, definimos f ( x ) = 1 si x ∉ U ( r ) para cualquier r ; de lo contrario f ( x ) = inf { r : x ∈ U ( r )} para cada x ∈ X . Usando el hecho de que los racionales diádicos son densos , no es demasiado difícil demostrar que f es continua y tiene la propiedad f ( A ) ⊆ {0} yf ( B ) ⊆ {1}.
Para construir los conjuntos U ( r ), en realidad hacemos un poco más: construimos los conjuntos U ( r ) y V ( r ) de manera que
- A ⊆ U ( r ) y B ⊆ V (r) para todo r ,
- U ( r ) y V ( r ) están abiertos y separados para todo r ,
- Para r < s , V ( s ) está contenido en el complemento de U ( r ) y el complemento de V ( r ) está contenido en U ( s ).
Dado que el complemento de V ( r ) es cerrado y contiene U ( r ), la última condición implica la condición (2) de arriba.
Esta construcción procede por inducción matemática . En primer lugar definir U (1) = X \ B y V (0) = X \ A . Dado que X es normal, podemos encontrar dos conjuntos abiertos disjuntos U (1/2) y V (1/2) que contienen A y B , respectivamente. Ahora suponga que n ≥ 1 y los conjuntos U ( k / 2 n ) y V ( k / 2 n ) ya se han construido para k = 1, ..., 2 n −1. Como X es normal, para cualquier a ∈ {0, 1, ..., 2 n −1}, podemos encontrar dos conjuntos abiertos disjuntos que contienen X \ V ( a / 2 n ) y X \ U (( a + 1) / 2 n ), respectivamente. Llame a estos dos conjuntos abiertos U ((2 a +1) / 2 n +1 ) y V ((2 a +1) / 2 n +1 ) y verifique las tres condiciones anteriores.
El proyecto Mizar ha formalizado por completo y comprobado automáticamente una prueba del lema de Urysohn en el archivo URYSOHN3 .
Ver también
Notas
- ^ Willard 1970 Sección 15.
Referencias
- Willard, Stephen (1970). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.
enlaces externos
- "Lema de Urysohn" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/urysohn3.html#T20