Función continua

En matemáticas , una función continua es una función tal que una variación continua (es decir, un cambio sin salto) del argumento induce una variación continua del valor de la función. Esto significa que no hay cambios bruscos de valor, conocidos como discontinuidades . Más precisamente, una función es continua si se pueden asegurar cambios arbitrariamente pequeños en su valor restringiendo a cambios suficientemente pequeños de su argumento. Una función discontinua es una función que no es continua . Hasta el siglo XIX, los matemáticos confiaban en gran medida en intuicionesnociones de continuidad, y consideradas sólo funciones continuas. La definición épsilon-delta de límite se introdujo para formalizar la definición de continuidad.

La continuidad es uno de los conceptos centrales del cálculo y el análisis matemático , donde los argumentos y valores de las funciones son números reales y complejos . El concepto se ha generalizado a funciones entre espacios métricos y entre espacios topológicos . Estas últimas son las funciones continuas más generales y su definición es la base de la topología .

Una forma más fuerte de continuidad es la continuidad uniforme . En la teoría de órdenes , especialmente en la teoría de dominios , un concepto relacionado de continuidad es la continuidad de Scott .

Como ejemplo, la función H ( t ) que denota la altura de una flor en crecimiento en el tiempo t se consideraría continua. Por el contrario, la función M ( t ) que denota la cantidad de dinero en una cuenta bancaria en el momento t se consideraría discontinua, ya que "salta" en cada momento en el que se deposita o retira dinero.

Una forma de la definición épsilon-delta de continuidad fue dada por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy definió la continuidad de de la siguiente manera: un incremento infinitamente pequeño de la variable independiente x siempre produce un cambio infinitamente pequeño de la variable dependiente y ( véase, por ejemplo, Cours d'Analyse , p. 34). Cauchy definió cantidades infinitamente pequeñas en términos de cantidades variables, y su definición de continuidad se asemeja mucho a la definición infinitesimal utilizada hoy (ver microcontinuidad ). La definición formal y la distinción entre continuidad puntual y continuidad uniforme${\ Displaystyle y = f (x)}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle f (x + \ alpha) -f (x)}$fueron entregadas por primera vez por Bolzano en la década de 1830, pero el trabajo no se publicó hasta la década de 1930. Como Bolzano, ^[1] Karl Weierstrass ^[2] negó la continuidad de una función en un punto c a menos que estuviera definida en y en ambos lados de c , pero Édouard Goursat ^[3] permitió que la función se definiera solo en y en un lado de c , y Camille Jordan ^{[4] lo} permitió incluso si la función se definió solo en c . Las tres definiciones no equivalentes de continuidad puntual todavía están en uso. ^[5] Eduard Heineproporcionó la primera definición publicada de continuidad uniforme en 1872, pero basó estas ideas en conferencias dadas por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854. ^[6]

Una función real , es decir, una función de números reales a números reales, se puede representar mediante una gráfica en el plano cartesiano ; tal función es continua si, en términos generales, el gráfico es una única curva ininterrumpida cuyo dominio es la línea real completa. A continuación se ofrece una definición más rigurosa matemáticamente. ^[7]

La función es continua en su dominio ( ), pero es discontinua en${\ Displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}}}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$${\displaystyle x=0}$

La secuencia converge a exp (0)${\displaystyle \exp(1/n)}$

Ilustración de la -definición: porque el valor satisface la condición de la definición.${\displaystyle \varepsilon -\delta }$${\displaystyle \varepsilon =0.5,c=2,}$${\displaystyle \delta =0.5}$

La falla de una función para ser continua en un punto se cuantifica por su oscilación .

La gráfica de una función cúbica no tiene saltos ni huecos. La función es continua.

La gráfica de una función racional continua . La función no está definida para Las líneas verticales y horizontales son asíntotas .${\displaystyle x=-2.}$

Las funciones sinc y cos

Gráfico de la función signum. Demuestra eso . Por tanto, la función signum es discontinua en 0 (ver sección 2.1.3 ).${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{n}}\right)\neq \operatorname {sgn} \left(\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}\right)}$

Gráfico de puntos de la función de Thomae en el intervalo (0,1). El punto más alto en el medio muestra f (1/2) = 1/2.

Secuencia de funciones continuas cuya función límite (puntual) es discontinua. La convergencia no es uniforme.${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle f(x)}$

Para una función continua de Lipschitz, hay un cono doble (mostrado en blanco) cuyo vértice se puede trasladar a lo largo del gráfico, de modo que el gráfico siempre permanece completamente fuera del cono.

Continuidad en un punto: para cada vecindario V de , hay un vecindario U de x tal que${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f(U)\subseteq V}$