En matemáticas , un espacio Riesz , celosía ordenó espacio vectorial o vector de la red es un espacio vectorial parcialmente ordenado donde la estructura de orden es una celosía .
Los espacios de Riesz llevan el nombre de Frigyes Riesz, quien los definió por primera vez en su artículo de 1928 Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires .
Los espacios Riesz tienen una amplia gama de aplicaciones. Son importantes en la teoría de la medida , en el sentido de que los resultados importantes son casos especiales de resultados para los espacios de Riesz. Por ejemplo, el teorema Radon-Nikodym sigue como un caso especial del teorema espectral de Freudenthal . Los espacios de Riesz también se han aplicado en la economía matemática a través del trabajo del economista y matemático greco-estadounidense Charalambos D. Aliprantis .
Definición
Preliminares
Si X es un espacio vectorial ordenado y si S es un subconjunto de X a continuación, un elemento b ∈ X es un límite superior (resp. El límite inferior ) de S si s ≤ b (resp. S ≥ b ) para todos los s ∈ S . Un elemento a en X es el límite superior mínimo o supremum (resp. Mayor límite inferior o infimum ) de S si es un límite superior (resp. Un límite inferior) de S y si para cualquier límite superior (resp. Cualquier límite inferior ) b de S , tenemos a ≤ b (resp. a ≥ b ).
Definiciones
Celosía de vectores preordenados
Un retículo vectorial preordenado es un espacio vectorial preordenado E en el que cada par de elementos tiene un supremo .
Más explícitamente, un retículo vectorial preordenado es un espacio vectorial dotado de un preorden , ≤ , tal que para cualquier x , y , z ∈ E :
- Invarianza de traslación : x ≤ y implica x + z ≤ y + z .
- Homogeneidad positiva : para cualquier escalar 0 ≤ α , x ≤ y implica αx ≤ αy . [ aclaración necesaria ]
- Para cualquier par de vectores x , y en E existe un supremo (denotado x ∨ y ) en E con respecto al orden (≤) .
El preorden, junto con los ítems 1 y 2, que lo hacen "compatible con la estructura del espacio vectorial", hacen de E un espacio vectorial preordenado. El ítem 3 dice que el preorden es un semirreticulado de unión . Debido a que el preorden es compatible con la estructura del espacio vectorial, se puede demostrar que cualquier par también tiene un mínimo , lo que hace que E sea también una semirrejilla de encuentro , por lo tanto, una rejilla.
Un espacio vectorial preordenado E es un retículo vectorial preordenado si y solo si satisface alguna de las siguientes propiedades equivalentes:
- Para cualquier x , y ∈ E , su supremo existe en E .
- Para cualquier x , y ∈ E , su ínfimo existe en E .
- Para cualquier x , y ∈ E , su ínfimo y supremo en su existir E .
- Para cualquier x ∈ E , sup { x , 0} existe. [1]
Celosías de espacio y vector de Riesz
Un espacio de Riesz o una retícula vectorial es una retícula vectorial preordenada cuyo preorden es un orden parcial . De manera equivalente, es un espacio vectorial ordenado para el que el orden es un retículo .
Tenga en cuenta que muchos autores requieren que una red vectorial sea un espacio vectorial parcialmente ordenado (en lugar de simplemente un espacio vectorial preordenado) mientras que otros solo requieren que sea un espacio vectorial preordenado. De ahora en adelante asumiremos que cada espacio de Riesz y cada retícula vectorial es un espacio vectorial ordenado, pero que una retícula vectorial preordenada no está necesariamente parcialmente ordenada.
Si E es un espacio vectorial ordenado sobrecon positivo cuyo cono positivo C está generando (es decir, tal que E = C - C ), y si para cada x , y ∈ C ya sea o existe, entonces E es una red vectorial. [2]
Intervalos
Un intervalo de orden en un espacio vectorial parcialmente ordenado es un conjunto convexo de la forma [ a , b ] = { x : a ≤ x ≤ b }. En un espacio vectorial real ordenado, cada intervalo de la forma [- x , x ] está equilibrado . [3] De los axiomas 1 y 2 anteriores se deduce que x , y en [ a , b ] y λ en (0,1) implican λ x + (1 - λ ) y en [ a , b ]. Se dice que un subconjunto tiene un orden limitado si está contenido en algún intervalo de orden. [3] Una unidad de orden de un espacio vectorial preordenado es cualquier elemento x tal que el conjunto [- x , x ] está absorbiendo . [3]
El conjunto de todos los funcionales lineales en un espacio vectorial preordenado V que mapea cada intervalo de orden en un conjunto acotado se llama el doble de orden ligado de V y se denota por V b [3] Si un espacio está ordenado, entonces su orden dual ligado es un vector subespacio de su dual algebraico .
Un subconjunto A de una red vectorial E se llama orden completo si para cada subconjunto no vacío B ⊆ A tal que B es el orden acotado en A , ambos y existen y son elementos de A . Se dice que un vector de la red E es completo orden es E es un subconjunto completo orden de E . [4]
Espacios de Riesz de dimensión finita
Las celosías vectoriales de dimensión finita se clasifican en una de dos categorías dependiendo de si la celosía está ordenada o no por Arquímedes .
- Teorema : [5] Suponga que X es un retículo vectorial de dimensión finita n . Si X está ordenado por Arquímedes, entonces es (rejilla vectorial) isomorfo con bajo su orden canónico. De lo contrario, existe un entero k que satisface 2 ≤ k ≤ n tal que X es isomorfo a dónde tiene su orden canónico, es con el orden lexicográfico , y el producto de estos dos espacios tiene el orden canónico del producto.
Al igual que con los espacios vectoriales topológicos de dimensión finita , las redes vectoriales de dimensión finita resultan poco interesantes.
Propiedades básicas
Cada espacio de Riesz es un espacio vectorial parcialmente ordenado , pero no todo espacio vectorial parcialmente ordenado es un espacio de Riesz.
Tenga en cuenta que para cualquier subconjunto A de X ,siempre que exista el supremum o el infimum (en cuyo caso ambos existen). [2] Si y luego . [2] Para todos un , b , x , y y en un espacio Riesz X , tenemos un - inf ( x , y ) + b = sup ( un - x + b , un - y + b ). [4]
Valor absoluto
Para cada elemento x en un espacio de Riesz X , el valor absoluto de x , denotado por, se define como , [4] cuando esto satisfaga - | x | ≤ x ≤ | x | y | x | ≥ 0. Para cualquier x y y en X y cualquier número real r , tenemos y . [4]
Desunión
Decimos que dos elementos x e y en un vector de la red x son disjuntos celosía o disjuntos si, en cuyo caso escribimos . Dos elementos x y y son disjuntos si y sólo si. Si x y y son disjuntos entonces y , donde para cualquier elemento z , y . Decimos que dos conjuntos A y B son disjuntos si un y B son disjuntos para todos una en una y toda b en B , en cuyo caso se escribe. [2] Si A es el conjunto singleton entonces escribiremos en lugar de . Para cualquier conjunto A , definimos el complemento disjunto como el conjunto. [2] Los complementos disjuntos son siempre bandas , pero lo contrario no es cierto en general. Si A es un subconjunto de X tal queexiste, y si B es un retículo de subconjunto en X que es disjunto de A , entonces B es un retículo disjunto de. [2]
Representación como suma disjunta de elementos positivos
Para cualquier x en X , sea y , donde tenga en cuenta que ambos elementos son y con . Luego y son disjuntos, y es la representación única de x como la diferencia de elementos disjuntos que son. [2] Para todos x y y en X , y . [2] Si y ≥ 0 y x ≤ y entonces x + ≤ y . Es más, si y solo si y . [2]
Cada espacio de Riesz es una red distributiva ; es decir, tiene las siguientes propiedades equivalentes: para todo x , y , z en X
- x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z )
- x ∨ ( y ∧ z ) = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ) [6] [7]
- ( xy )( yz )( zx ) = ( xy )( yz )( zx ).
- Xz = yz y xz = yz siempre implica x = y .
Cada espacio de Riesz tiene la propiedad de descomposición de Riesz .
Convergencia de pedidos
Hay varias formas significativas no equivalentes de definir la convergencia de secuencias o redes con respecto a la estructura de orden de un espacio de Riesz. Se dice que una secuencia { x n } en un espacio de Riesz E converge monótonamente si es una secuencia monótona decreciente (resp. Creciente) y su infimum (supremum) x existe en E y se denota x n ↓ x , (resp. X n ↑ x ).
Se dice que una secuencia { x n } en un espacio de Riesz E converge para x si existe una secuencia convergente monótona { p n } en E tal que | x n - x | < p n ↓ 0 .
Si u es un elemento positivo de un espacio Riesz E a continuación, una secuencia { x n } en E se dice que convergen u-uniformemente a x si por cualquier ε > 0 existe un N tal que | x n - x | < Εu para todos n > N .
Subespacios
La estructura adicional proporcionada por estos espacios proporciona distintos tipos de subespacios de Riesz. La colección de cada estructura de tipo en un espacio de Riesz (por ejemplo, la colección de todos los ideales) forma una red distributiva .
Subrejillas
Si X es un retículo vectorial, entonces un subred vectorial es un subespacio vectorial F de X tal que para todo x e y en F ,pertenece a F (donde este supremo se toma en X ). [4] Puede suceder que un subespacio F de X es un enrejado vector bajo su orden canónico pero es no una subred vector de X . [4]
Ideales
Un subespacio vectorial I de un espacio de Riesz E se denomina ideal si es sólido , es decir, si para f ∈ I y g ∈ E , tenemos: | g | ≤ | f | implica que g ∈ I . [4] La intersección de una colección arbitraria de ideales es de nuevo un ideal, lo que permite la definición de un ideal más pequeño que contiene un subconjunto no vacío A de E , y se llama el ideal generada por A . Un ideal generado por un singleton se llama ideal principal .
Bandas y σ -Ideals
Una banda B en un espacio de Riesz E se define como un ideal con la propiedad extra, que para cualquier elemento f en E para el que su valor absoluto | f | es el supremo de un subconjunto arbitrario de elementos positivos en B , que f es en realidad en B . σ - Los ideales se definen de manera similar, con las palabras 'subconjunto arbitrario' reemplazadas por 'subconjunto contable'. Claramente, cada banda es un ideal σ , pero lo contrario no es cierto en general.
La intersección de una familia arbitraria de bandas es nuevamente una banda. Al igual que con los ideales, para cada subconjunto no vacío A de E , existe una banda pequeña que contiene ese subconjunto, llamada la banda generada por una . Una banda generada por un singleton se llama banda principal .
Bandas de proyección
Una banda B en un espacio de Riesz, se llama banda de proyección , si E = B ⊕ B ⟂ , lo que significa que cada elemento f en E , se puede escribir únicamente como una suma de dos elementos, f = u + v , con u en B y v en B ⟂ . Entonces también existe un idempotente lineal positivo, o proyección , P B : E → E , tal que P B ( f ) = u .
La colección de todas las bandas de proyección en un espacio de Riesz forma un álgebra de Boole . Algunos espacios no tienen bandas de proyección no triviales (por ejemplo, C ([0, 1]) ), por lo que este álgebra booleana puede ser trivial.
Lo completo
Un enrejado vectorial está completo si cada subconjunto tiene tanto un supremum como un infimum.
Un enrejado vectorial es Dedekind completo si cada conjunto con un límite superior tiene un superior y cada conjunto con un límite inferior tiene un mínimo.
Una celosía vectorial de orden completo, ordenada regularmente cuya imagen canónica en su orden bidual es orden completa se llama mínima y se dice que es de tipo mínimo . [8]
Subespacios, cocientes y productos
- Subrejillas
Si M es un subespacio vectorial de un espacio vectorial preordenado X, entonces el orden canónico en M inducido por el cono positivo C de X es el preorden inducido por el cono convexo puntiagudo C ∩ M , donde este cono es propio si C es propio (es decir, si ( C ∩- C = ∅). [3]
Una subred de una red vectorial X es un subespacio vectorial M de X tal que para todo x e y en M , sup X ( x , y ) pertenece a X (lo que es más importante, tenga en cuenta que este supremo se toma en X y no en M ) . [3] Si X =con 0
M de X definido por todos los mapas de la forma( a , b ∈) Es un vector reticular bajo la orden inducida pero es no una subred de X . [5] Esto a pesar de que X es una red de vectores topológicos ordenados por Arquímedes completo de orden . Además, existen vector un vector subred N de este espacio X de tal manera que N ∩ C tiene interior vacío en X pero no funcional lineal positiva en N se puede extender a un funcional lineal positiva en X . [5]- Celosías de cociente
Sea M un subespacio vectorial de un espacio vectorial ordenado X que tiene un cono positivo C , sea ser la proyección canónica, y dejar . Luegoes un cono en X / M que induce una preordering canónica en el espacio cociente X / M . Sies un cono adecuado en X / M entoncesconvierte X / M en un espacio vectorial ordenado. [3] Si M está saturado en C, entoncesdefine el orden canónico de X / M . [5] Tenga en cuenta que proporciona un ejemplo de un espacio vectorial ordenado donde no es un cono adecuado.
Si X es una red vectorial y N es un subespacio vectorial sólido de X, entoncesdefine el orden canónico de X / M bajo el cual L / M es un enrejado vectorial y el mapa canónicoes un homomorfismo de celosía vectorial. Además, si X tiene un orden completo y M es una banda en X, entonces X / M es isomorfo con M ⟂ . [5] También, si M es sólido entonces la topología del orden de X / M es el cociente de la topología de compra en X . [5]
Si X es una red de vectores topológicos y M es una subred sólida cerrada de X, entonces X / L es también una red de vectores topológicos. [5]
- Producto
Si S es cualquier conjunto, entonces el espacio X S de todas las funciones de S a X está ordenado canónicamente por el cono adecuado. [3]
Suponer que es una familia de espacios vectoriales preordenados y que el cono positivo de es . Luego es un cono convexo puntiagudo en , que determina un ordenamiento canónico en ; C es un cono adecuado si todosson conos adecuados. [3]
- Suma directa algebraica
La suma directa algebraica de es un subespacio vectorial de que se le da el orden canónico subespacial heredado de . [3] Si X 1 , ..., X n son subespacios vectoriales ordenados de un espacio vectorial ordenado X entonces X es la suma directa ordenada de estos subespacios si el isomorfismo algebraico canónico de X sobre(con el orden de producto canónico) es un isomorfismo de orden . [3]
Espacios de mapas lineales
Se dice que un cono C en un espacio vectorial X se genera si C - C es igual a todo el espacio vectorial. [3] Si X y W son dos espacios vectoriales ordenados no triviales con conos positivos respectivos P y Q , entonces P genera en X si y solo si el conjuntoes un cono adecuado en L ( X ; W ), que es el espacio de todos los mapas lineales de X en W . En este caso, la ordenación definida por C se denomina ordenación canónica de L ( X ; W ). [3] Más generalmente, si M es cualquier vector de subespacio de L ( X ; W ) tal que C ∩ M es un cono adecuado, el orden definido por C ∩ M se llama el orden canónico de M . [3]
Un mapa lineal u entre dos espacios vectoriales preordenado X y Y con respectivos conos positivos C y D se denomina positiva si u ( C ) ⊆ D . Si X e Y son retículas vectoriales con orden Y completo y si H es el conjunto de todos los mapas lineales positivos de X a Y, entonces el subespacio M : = H - H de L ( X ; Y ) es una retícula vectorial de orden completa bajo su orden canónico; Además, M contiene exactamente esos mapas lineales que los intervalos de mapa de orden de X a intervalos de orden de Y . [5]
Funcionales positivos y el orden dual
Una función lineal f en un espacio vectorial preordenado se llama positiva si x ≥ 0 implica f ( x ) ≥ 0. El conjunto de todas las formas lineales positivas en un espacio vectorial, denotado por, Es un cono igual a la polar de - C . El orden dual de un espacio vectorial ordenado X es el conjunto, denotado por, definido por . Aunque, existen espacios vectoriales ordenados para los que no se cumple la igualdad de conjuntos . [3]
Homomorfismo de celosía vectorial
Supongamos que X y Y son celosías vector preordenado con conos positivos C y D y permiten u ser un mapa de X en Y . Entonces u es un homomorfismo reticular vectorial preordenado si u es lineal y si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: [9] [5]
- u conserva las operaciones de celosía
- u (sup { x , y }) = sup { u ( x ), u ( y )} para todo x , y ∈ X
- u (inf { x , y }) = inf { u ( x ), u ( y )} para todo x , y ∈ X
- u (| x |) = sup { u ( x + ), u ( x - )} para todo x ∈ X
- 0 = inf { u ( x + ), u ( x - )} para todo x ∈ X
- u ( C ) = D y T -1 (0) es un sólido subconjunto de X . [5]
- si x ≥ 0 entonces u ( x ) ≥ 0. [1]
- u está preservando el orden. [1]
Un homomorfismo de red vectorial preordenado que es biyectivo es un isomorfismo de red vectorial preordenado .
Un homomorfismo reticular vectorial preordenado entre dos espacios de Riesz se denomina homomorfismo reticular vectorial ; si también es biyectivo, entonces se denomina isomorfismo de red vectorial .
Si u es un funcional lineal distinto de 0 en una red vectorial X con cono positivo C, entonces los siguientes son equivalentes:
- u : X es un homomorfismo de celosía vectorial sobreyectiva.
- 0 = inf { u ( x + ), u ( x - )} para todo x ∈ X
- u ≥ 0 y u -1 (0) es un sólido hiperplano en X .
- u ' genera un rayo extremo del cono C * en X *
Recuerde que un rayo extremo del cono C es un conjunto { rx : r ≥ 0} donde x ∈ C , x no es 0, y si y ∈ C es tal que x - y ∈ C entonces y = sx para algunos s tal que 0 ≤ s ≤ 1. [9]
Un homomorfismo de red de vector de X a Y es un homomorfismo topológico cuando se dan a X e Y sus respectivas topologías de orden . [5]
Propiedades de proyección
Son numerosas las propiedades de proyección que pueden tener los espacios de Riesz. Se dice que un espacio de Riesz tiene la propiedad de proyección (principal) si cada banda (principal) es una banda de proyección.
El llamado teorema de inclusión principal relaciona las siguientes propiedades adicionales con la propiedad de proyección (principal): [10] Un espacio de Riesz es ...
- Dedekind Complete (CD) si cada conjunto no vacío, delimitado por encima, tiene un supremum ;
- Super Dedekind Complete (SDC) si cada conjunto no vacío, acotado arriba, tiene un subconjunto contable con superior idéntico;
- Dedekind σ -completo si cada conjunto no vacío contable, acotado arriba, tiene un supremo; y
- Propiedad de Arquímedes si, para cada par de elementos positivos x y y , existe un entero n tal que nx ≥ y .
Entonces estas propiedades se relacionan de la siguiente manera. SDC implica DC; DC implica tanto la completitud σ de Dedekind como la propiedad de proyección; Tanto la σ-completitud de Dedekind como la propiedad de proyección implican por separado la propiedad de proyección principal; y la propiedad de proyección principal implica la propiedad de Arquímedes .
Ninguna de las implicaciones inversas se cumple, pero la completitud σ de Dedekind y la propiedad de proyección juntas implican DC.
Ejemplos de
- El espacio de funciones continuas de valor real con soporte compacto en un espacio topológico X con el orden parcial puntual definido por f ≤ g cuando f ( x ) ≤ g ( x ) para todo x en X , es un espacio de Riesz. Es de Arquímedes, pero por lo general no tiene la propiedad de proyección principal a menos que X satisfaga otras condiciones (por ejemplo, estar extremadamente desconectado ).
- Cualquier L p con el orden parcial puntual ( casi en todas partes ) es un espacio de Riesz completo de Dedekind.
- El espacio R 2 con el orden lexicográfico es un espacio de Riesz no arquimediano.
Propiedades
- Los espacios de Riesz son grupos ordenados en celosía
- Cada espacio de Riesz es una celosía distributiva
Ver también
- Cono convexo
- Infimum y supremum
- Espacio vectorial ordenado
- Espacio parcialmente ordenado
Referencias
- ↑ a b c Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 139-153.
- ^ a b c d e f g h i Schaefer y Wolff 1999 , págs. 74-78.
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o Schaefer y Wolff 1999 , págs. 205–209.
- ↑ a b c d e f g Schaefer y Wolff 1999 , págs. 204-214.
- ↑ a b c d e f g h i j k Schaefer y Wolff 1999 , págs. 250-257.
- ^ Birkhoff, Garrett (1967). Teoría de celosía . Publicaciones del coloquio (3ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 11. ISBN 0-8218-1025-1. §6, Teorema 9
- ^ Para elementos individuales x , y , z , por ejemplo, la primera ecuación puede violarse, pero la segunda puede ser válida; vea laimagen deN 5 como ejemplo.
- ^ Schaefer y Wolff 1999 , págs. 204-214.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 205–214.
- ^ Luxemburg, WAJ; Zaanen, AC (1971). Espacios Riesz: Vol. 1 . Londres: Holanda Septentrional. págs. 122-138. ISBN 0720424518. Consultado el 8 de enero de 2018 .
Bibliografía
- Bourbaki, Nicolas ; Elementos de Matemáticas: Integración. Capítulos 1 a 6 ; ISBN 3-540-41129-1
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Riesz, Frigyes; Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires , congreso de Atti. internaz. mathematici (Bolonia, 1928), 3, Zanichelli (1930) págs. 143-148
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Sobolev, VI (2001) [1994], "Espacio Riesz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , ISBN 978-1-4020-0609-8
- Zaanen, Adriaan C. (1996), Introducción a la teoría del operador en espacios Riesz , Springer , ISBN 3-540-61989-5
enlaces externos
- Espacio Riesz en la Enciclopedia de Matemáticas