Evolución del tiempo

Cambio de estado a lo largo del tiempo, especialmente en física.

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La evolución temporal es el cambio de estado provocado por el paso del tiempo , aplicable a sistemas con estado interno (también llamados sistemas con estado ). En esta formulación, el tiempo no está obligado a ser un parámetro continuo, pero puede ser discreta o incluso finito . En la física clásica , la evolución temporal de una colección de cuerpos rígidos se rige por los principios de la mecánica clásica . En su forma más rudimentaria, estos principios expresan la relación entre las fuerzas que actúan sobre los cuerpos y su aceleración dada por las leyes del movimiento de Newton.. Estos principios también pueden ser expresados ​​de manera equivalente de manera más abstracta por la mecánica hamiltoniana o la mecánica lagrangiana .

El concepto de evolución en el tiempo también puede aplicarse a otros sistemas con estado. Por ejemplo, el funcionamiento de una máquina de Turing se puede considerar como la evolución temporal del estado de control de la máquina junto con el estado de la cinta (o posiblemente varias cintas), incluida la posición del cabezal (o cabezales) de lectura y escritura de la máquina. En este caso, el tiempo es discreto.

Los sistemas con estado a menudo tienen descripciones duales en términos de estados o en términos de valores observables . En tales sistemas, la evolución en el tiempo también puede referirse al cambio en los valores observables. Esto es particularmente relevante en la mecánica cuántica, donde la imagen de Schrödinger y la imagen de Heisenberg son (en su mayoría) descripciones equivalentes de la evolución en el tiempo.

Operadores de evolución temporal

Considere un sistema con espacio de estados X para el cual la evolución es determinista y reversible . Para ser concretos nos dejó también suponen tiempo es un parámetro que se extiende sobre el conjunto de los números reales R . Entonces la evolución en el tiempo viene dada por una familia de transformaciones de estados biyectivos.

${\displaystyle \operatorname {F} _{t,s}:X\rightarrow X\quad \forall t,s\in \mathbb {R} }$

F _{t , s} ( x ) es el estado del sistema en el tiempo t , cuyo estado en el tiempo s es x . La siguiente identidad se mantiene

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).}$

Para ver por qué esto es cierto, suponga que x ∈ X es el estado en el tiempo s . Entonces, por la definición de F, F _{t , s} ( x ) es el estado del sistema en el tiempo t y, en consecuencia, aplicando la definición una vez más, F _{u , t} (F _{t , s} ( x )) es el estado en el tiempo u . Pero esto también es F _{u , s} ( x ).

En algunos contextos de la física matemática, las asignaciones F _{t , s} se denominan 'operadores de propagación' o simplemente propagadores . En la mecánica clásica , los propagadores son funciones que operan en el espacio de fase de un sistema físico. En mecánica cuántica , los propagadores suelen ser operadores unitarios en un espacio de Hilbert . Los propagadores se pueden expresar como exponenciales ordenados en el tiempo del hamiltoniano integrado. Las propiedades asintóticas de la evolución temporal vienen dadas por la matriz de dispersión . ^[1]

Un espacio de estados con un propagador distinguido también se denomina sistema dinámico .

Decir que la evolución del tiempo es homogénea significa que

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}=\operatorname {F} _{u-t,0}\quad \forall u,t\in \mathbb {R} .}$

En el caso de un sistema homogéneo, las asignaciones G _t = F _{t , 0} forman un grupo de transformaciones de un parámetro de X , es decir

${\displaystyle \operatorname {G} _{t+s}=\operatorname {G} _{t}\operatorname {G} _{s}.}$

Para sistemas no reversibles, los operadores de propagación F _{t , s} se definen siempre que t ≥ sy satisfacen la identidad de propagación

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).\quad u\geq t\geq s.}$

En el caso homogéneo, los propagadores son exponenciales del hamiltoniano.

En mecánica cuántica

En la imagen de Schrödinger , el operador hamiltoniano genera la evolución temporal de los estados cuánticos. Si es el estado del sistema en ese momento , entonces${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}$

Esta es la ecuación de Schrödinger . Dado el estado en algún tiempo inicial ( ), si es independiente del tiempo, entonces el operador de evolución del tiempo unitario es el operador exponencial que se muestra en esta ecuación:${\displaystyle t=0}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$

Ver también

• Flecha del tiempo
• Simetría de traducción de tiempo
• Sistema hamiltoniano
• Propagador
• Operador de evolución temporal
• Hamiltoniano (teoría de control)

Referencias

1. Lecture 1 {{|}} Quantum Entanglements, Part 1 (Stanford) (video). Stanford, CA: Stanford. 2 de octubre de 2006 . Consultado el 5 de septiembre de 2020 , a través de YouTube.

Referencias generales

• Amann, H .; Arendt, W .; Neubrander, F .; Nicaise, S .; von Below, J. (2008), Amann, Herbert; Arendt, Wolfgang; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank M; Nicaise, Serge; von Below, Joachim (eds.), Análisis funcional y ecuaciones de evolución: El volumen de Günter Lumer , Basilea: Birkhäuser, doi : 10.1007 / 978-3-7643-7794-6 , ISBN 978-3-7643-7793-9, MR  2402015.
• Jerome, JW; Polizzi, E. (2014), "Discretización de sistemas cuánticos dependientes del tiempo: propagación en tiempo real del operador de evolución", Análisis aplicable , 93 (12): 2574-2597, arXiv : 1309.3587 , doi : 10.1080 / 00036811.2013.878863 , S2CID  17905545.
• Lanford, OE (1975), "Evolución temporal de los grandes sistemas clásicos", en Moser J. (ed.), Dynamical Systems, Theory and Applications , Lecture Notes in Physics, 38 , Berlín, Heidelberg: Springer, págs. 1-111 , doi : 10.1007 / 3-540-07171-7_1 , ISBN 978-3-540-37505-0.
• Lanford, OE; Lebowitz, JL (1975), "Evolución temporal y propiedades ergódicas de los sistemas armónicos", en Moser J. (ed.), Dynamical Systems, Theory and Applications , Lecture Notes in Physics, 38 , Berlín, Heidelberg: Springer, págs. 144 –177, doi : 10.1007 / 3-540-07171-7_3 , ISBN 978-3-540-37505-0.

• Lumer, Günter (1994), "Ecuaciones de evolución. Soluciones para problemas de evolución irregular mediante soluciones generalizadas y valores iniciales generalizados. Aplicaciones a modelos de choques periódicos" , Annales Universitatis Saraviensis , Serie Mathematicae, 5 (1), MR  1286099 .