La ley de Titius-Bode (a veces denominada simplemente ley de Bode ) es una predicción formulada del espaciamiento entre planetas en cualquier sistema solar dado . La fórmula sugiere que, extendiéndose hacia afuera, cada planeta debería estar aproximadamente el doble de lejos del Sol que el anterior. La hipótesis anticipó correctamente las órbitas de Ceres (en el cinturón de asteroides ) y Urano , pero fracasó como predictor de la órbita de Neptuno . Lleva el nombre de Johann Daniel Titius y Johann Elert Bode .
El trabajo posterior de Blagg y Richardson corrigió significativamente la fórmula original e hizo predicciones que posteriormente fueron validadas por nuevos descubrimientos y observaciones. Son estas reformulaciones las que ofrecen "las mejores representaciones fenomenológicas de distancias con las que investigar el significado teórico de las leyes tipo Titius-Bode". [1]
Formulación
La ley relaciona el eje semi-mayor de cada planeta hacia afuera desde el Sol en unidades tales que el semieje mayor de la Tierra es igual a 10:
dónde de manera que, con la excepción del primer paso, cada valor es el doble del valor anterior. Hay otra representación de la fórmula:
dónde Los valores resultantes se pueden dividir por 10 para convertirlos en unidades astronómicas ( AU ), lo que da como resultado la expresión:
Para los planetas más lejanos, más allá de Saturno , se predice que cada planeta estará aproximadamente dos veces más lejos del Sol que el objeto anterior. Mientras que la ley de Titius-Bode predice Saturno , Urano , Neptuno y Plutón en aproximadamente 10, 20, 39 y 77 AU , pero los valores reales están más cerca de 10, 19, 30, 40 AU . [a]
Esta forma de ley ofrecía una buena primera conjetura; las reformulaciones de Blagg y Richardson deben considerarse canónicas.
Origen e historia
La primera mención de una serie que se aproxima a la ley de Bode se encuentra en un libro de texto de D. Gregory (1715): [2]
- "... suponiendo que la distancia de la Tierra al Sol se divida en diez partes iguales, de estas la distancia de Mercurio será aproximadamente cuatro, de Venus siete, de Marte quince, de Júpiter cincuenta y dos, y la de Saturno noventa cinco." [3]
Una frase similar, probablemente parafraseada de Gregory (1715), [2] [3] aparece en un trabajo publicado por C. Wolff en 1724.
En 1764, C. Bonnet escribió: [4]
- "Conocemos diecisiete planetas [es decir, los planetas principales y sus satélites] que entran en la composición de nuestro sistema solar; pero no estamos seguros de que no haya más". [4] [3]
En su traducción de 1766 del trabajo de Bonnet, JD Titius agregó dos de sus propios párrafos a la declaración anterior. Las inserciones se colocaron al final de la página 7 y en la parte superior de la página 8. El nuevo párrafo no está en el texto original en francés de Bonnet, ni en las traducciones de la obra al italiano y al inglés.
Hay dos partes en el texto insertado de Titius. La primera parte explica la sucesión de distancias planetarias desde el Sol:
- Observe las distancias de los planetas entre sí y reconozca que casi todos están separados entre sí en una proporción que coincide con sus magnitudes corporales. Divida la distancia del Sol a Saturno en 100 partes; entonces Mercurio está separado del Sol por cuatro partes, Venus por 4 + 3 = 7 partes, la Tierra por 4 + 6 = 10, Marte por 4 + 12 = 16. Pero observe que de Marte a Júpiter se produce una desviación de esta progresión tan exacta. Desde Marte sigue un espacio de 4 + 24 = 28 de esas partes, pero hasta ahora no se ha avistado ningún planeta allí. Pero, ¿debería el Lord Arquitecto haber dejado ese espacio vacío? Para nada. Supongamos, por tanto, que este espacio pertenece sin duda a los satélites aún por descubrir de Marte, y agreguemos también que quizás Júpiter todavía tenga a su alrededor algunos más pequeños que aún no han sido avistados por ningún telescopio. Junto a este espacio todavía inexplorado para nosotros, se eleva la esfera de influencia de Júpiter en 4 + 48 = 52 partes; y el de Saturno a 4 + 96 = 100 partes. [ cita requerida ]
En 1772, JE Bode , entonces de veinticinco años, publicó un compendio astronómico, [5] en el que incluyó la siguiente nota al pie, citando a Titius (en ediciones posteriores): [b] [6]
- Este último punto parece derivarse en particular de la asombrosa relación que observan los seis planetas conocidos en sus distancias al Sol. Supongamos que la distancia del Sol a Saturno es 100, luego Mercurio está separado del Sol por 4 partes de este tipo. Venus es 4 + 3 = 7. La Tierra 4 + 6 = 10. Marte 4 + 12 = 16. Ahora surge una brecha en esta progresión tan ordenada. Después de Marte sigue un espacio de 4 + 24 = 28 partes, en el que aún no se ha visto ningún planeta. ¿Se puede creer que el Fundador del universo había dejado este espacio vacío? Ciertamente no. De aquí llegamos a la distancia de Júpiter en 4 + 48 = 52 partes, y finalmente a la de Saturno en 4 + 96 = 100 partes. [6]
Estas dos afirmaciones, a pesar de su peculiar expresión y de los radios utilizados para las órbitas, parecen provenir de un antiguo algoritmo de un cosista . [C]
Se encontraron muchos precedentes anteriores al siglo XVII. [ cita requerida ] Titius fue discípulo del filósofo alemán CF von Wolf (1679-1754), y la segunda parte del texto que Titius insertó en la obra de Bonnet está en un libro de von Wolf (1723), [7] sugiriendo que Titius aprendí la relación de él. La literatura del siglo XX sobre la ley de Titius-Bode atribuye la autoría a von Wolf. [ cita requerida ] Una versión anterior fue escrita por D. Gregory (1702), [8] en la que la sucesión de distancias planetarias 4, 7, 10, 16, 52 y 100 se convirtió en una progresión geométrica con razón 2. Esta es la fórmula newtoniana más cercana, que fue citada por Benjamin Martin y Tomàs Cerdà [d] años antes de la publicación alemana del libro de Bonnet. Durante los dos siglos siguientes, los autores posteriores continuaron presentando sus propias versiones modificadas, aparentemente sin tener conocimiento de trabajos anteriores. [1]
Titius y Bode esperaban que la ley condujera al descubrimiento de nuevos planetas y, de hecho, el descubrimiento de Urano y Ceres , cuyas distancias encajan bien con la ley, contribuyó a la fama de la ley. Sin embargo, la distancia de Neptuno fue muy discrepante y, de hecho, Plutón, que ya no se considera un planeta, se encuentra a una distancia media que corresponde aproximadamente a la que predijo la ley de Titius-Bode para el próximo planeta que salga de Urano.
Cuando se publicó originalmente, la ley fue aproximadamente satisfecha por todos los planetas entonces conocidos, es decir, de Mercurio a Saturno , con una brecha entre el cuarto y quinto planetas. Vikarius (Johann Friedrich) Wurm (1787) propuso una versión modificada de la Ley de Titius-Bode que tenía en cuenta los satélites entonces conocidos de Júpiter y Saturno, y predijo mejor la distancia de Mercurio. [9]
La ley de Titius-Bode se consideró interesante, pero de poca importancia hasta el descubrimiento de Urano en 1781, que encaja casi exactamente en la serie. Basado en este descubrimiento, Bode instó a sus contemporáneos a buscar un quinto planeta. Ceres , el objeto más grande en el cinturón de asteroides , fue encontrado en la posición predicha por Bode en 1801.
La ley de Bode fue ampliamente aceptada en ese momento, hasta que en 1846 se descubrió Neptuno en un lugar que no se ajustaba a la ley. Al mismo tiempo, debido a la gran cantidad de asteroides descubiertos en el cinturón , Ceres ya no era un planeta importante. En 1898, el astrónomo y lógico CS Peirce utilizó la ley de Bode como ejemplo de razonamiento falaz. [10]
El descubrimiento de Plutón en 1930 confundió aún más la cuestión: aunque no se acercaba a su posición predicha según la ley de Bode, estaba muy cerca de la posición que la ley había designado para Neptuno. El posterior descubrimiento del cinturón de Kuiper , y en particular el objeto Eris , que es más masivo que Plutón, pero no se ajusta a la ley de Bode, desacreditó aún más la fórmula. [11]
Una posible versión anterior
En 1760 Tomàs Cerdà [d] impartió un curso de astronomía de renombre, [12] que dio lugar a un libro de texto Tratado de Astronomía . [mi]
En Tratado de Astronomía , Cerdà obtiene las distancias planetarias de los períodos orbitales aplicando la tercera ley de Kepler , con una precisión de 10 −3 . Escalando la distancia promedio de la Tierra al Sol como 10, y redondeando a números enteros, se puede expresar la progresión geométrica como
Usando el movimiento circular uniforme de la anomalía media ficticia de Kepler , los valores decorrespondiente a las proporciones de cada planeta [ aclaración necesaria ] se puede obtener como
resultando en 1.82, 1.84, 1.86, 1.88 y 1.90, en los que
la relación entre la sucesión kepleriana [ aclaración necesaria ] y la ley de Titius-Bode sería una coincidencia numérica. La relación es cercana a 2, pero aumenta armónicamente [ aclaración necesaria ] desde 1,82.
La velocidad media del planeta desde a disminuye alejándose del Sol y difiere del descenso uniforme en recuperarse de (resonancia orbital). [ aclaración necesaria ]
Datos
La ley de Titius-Bode predice que los planetas estarán presentes a distancias específicas en unidades astronómicas , que se pueden comparar con los datos observados para varios planetas y planetas enanos del sistema solar:
metro | k | Distancia de la regla T – B (AU) | Planeta | Semieje mayor (AU) | Desviación de la predicción 1 |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0.4 | Mercurio | 0,39 | −3,23% | |
0 | 1 | 0,7 | Venus | 0,72 | + 3,33% |
1 | 2 | 1.0 | tierra | 1,00 | 0,00% |
2 | 4 | 1,6 | Marte | 1,52 | −4,77% |
3 | 8 | 2.8 | Ceres 2 | 2,77 | −1,16% |
4 | dieciséis | 5.2 | Júpiter | 5,20 | + 0,05% |
5 | 32 | 10.0 | Saturno | 9.55 | −4,45% |
6 | 64 | 19,6 | Urano | 19.22 | −1,95% |
- | - | - | Neptuno | 30.11 | - |
7 | 128 | 38,8 | Plutón 2 | 39,54 | + 1,02% |
8 | 256 | 77,2 | Eris 2 | 67,78 | −12,9% |
9 | 512 | 154,0 | - 3 | - | - |
10 | 1024 | 307,6 | 2012 VP 113 2 | 258.27 | −16,04% |
11 | 2048 | 614,8 | Sedna 2 | 506,2 4 | −17,66% |
Planeta Nueve (hipotético) | California. 400–800 |
1 Para k grande , cada distancia de la regla de Titius-Bode es aproximadamente el doble del valor anterior. Por lo tanto, se puede encontrar un planeta arbitrario entre el -25% y el + 50% de una de las posiciones predichas. Para k pequeño , las distancias predichas no se duplican por completo, por lo que el rango de desviación potencial es menor. Tenga en cuenta que el semieje mayor es proporcional a los 2/3 de potencia del período orbital . Por ejemplo, los planetas en una resonancia orbital 2: 3 (como los plutinos en relación con Neptuno ) variarán en distancia en (2/3) 2/3 = −23.69% y + 31.04% entre sí.
2 Ceres, Plutón, Eris y posiblemente Sedna son planetas enanos en lugar de planetas mayores .
3 No se han encontrado cuerpos conocidos evidentes cerca de estas distancias.
4 Tenga en cuenta que la diferencia excepcional en afelio y perihelio da lugar a un gran eje semi-mayor, que no se refleja en la distancia actual del objeto a la Tierra.
Formulación Blagg
En 1913, Mary Blagg , una astrónoma de Oxford, revisó la ley. [13] Ella analizó las órbitas del sistema planetario y las de los sistemas de satélites de los gigantes gaseosos exteriores, Júpiter, Saturno y Urano. Ella examinó el registro de las distancias, tratando de encontrar la mejor diferencia "promedio".
Su análisis resultó en una fórmula diferente:
dónde:
Tenga en cuenta que en su formulación, la Ley para el sistema solar estaba mejor representada por una progresión en 1.7275 , no en 2.
Blagg examinó los sistemas de satélites de Júpiter, Saturno y Urano y descubrió la misma proporción de progresión (1,7275) en cada uno.
Sistema | A | B | ||
---|---|---|---|---|
Planetas | 0.4162 | 2.025 | 112,4 ° | 56,6 ° |
Júpiter | 0.4523 | 1.852 | 113,0 ° | 36,0 ° |
Saturno | 3.074 | 0,0071 | 118,0 ° | 10.0 ° |
Urano | 2,98 | 0.0805 | 125,7 ° | 12,5 ° |
Su artículo apareció en los Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society de 1913 y fue olvidado hasta 1953, cuando AE Roy del Observatorio de la Universidad de Glasgow lo encontró mientras investigaba otro problema. [14] Señaló que la propia Blagg había sugerido que su fórmula podría dar distancias medias aproximadas de otros cuerpos aún sin descubrir en 1913. Desde entonces, se han descubierto seis cuerpos en tres sistemas examinados por Blagg: Plutón, Júpiter IX, X, XI, XII y Urano V.
Roy descubrió que los seis encajaban muy bien. Además, se confirmó otra de las predicciones de Blagg: que algunos cuerpos estaban agrupados a distancias particulares.
Su fórmula también predijo que si existiera un planeta transplutoniano, estaría a ~ 68 UA del Sol.
Comparación de la formulación de Blagg con observación
Los cuerpos entre paréntesis no se conocían en 1913, cuando Blagg escribió su artículo. Algunas de las distancias calculadas en los sistemas de Saturno y Urano no son muy precisas. Esto se debe a que los valores bajos de la constante B en la tabla anterior los hacen muy sensibles a la forma exacta de la función f.
Planeta | norte | Distancia | Ley Blagg |
---|---|---|---|
Mercurio | -2 | 0.387 | 0.387 |
Venus | -1 | 0,723 | 0,723 |
tierra | 0 | 1.000 | 1.000 |
Marte | 1 | 1.524 | 1.524 |
Vesta | 2 | 2.361 | 2,67 |
Juno | 2 | 2.670 | 2,67 |
Palas | 2 | 2.767 | 2,67 |
Ceres | 2 | 2.767 | 2,67 |
Júpiter | 3 | 5.203 | 5.200 |
Saturno | 4 | 9.546 | 9.550 |
Urano | 5 | 19.20 | 19.23 |
Neptuno | 6 | 30.07 | 30.13 |
(Plutón) | 7 | (39,5) | 41,8 |
Sistema de Júpiter | norte | Distancia | Ley Blagg |
---|---|---|---|
JV | -2 | 0,429 | 0,429 |
(¿J.XIII?) | -1 | (0,62?) | 0,708 |
Io | 0 | 1.000 | 1.000 |
Europa | 1 | 1.592 | 1.592 |
Ganimedes | 2 | 2.539 | 2.541 |
Calisto | 3 | 4.467 | 4.467 |
4 | 9.26 | ||
5 | 15,4 | ||
J.VI | 6 | 27.25 | 27,54 |
J.VII | 6 | 27,85 | 27,54 |
(JX) | 6 | (27,85) | 27,54 |
(J.XII) | 7 | (49,8) | 55,46 |
(J.XI) | 7 | (53,3) | 55,46 |
J.VIII | 7 | 55,7 | 55,46 |
(J.IX) | 7 | (56,2) | 55,46 |
Sistema de Saturno | norte | Distancia | Ley Blagg |
---|---|---|---|
(Janus) | -3 | (0,538) | 0,54 |
Mimas | -2 | 0,630 | 0,629 |
Encelado | -1 | 0,808 | 0,807 |
Tetis | 0 | 1.000 | 1.000 |
Dione | 1 | 1.281 | 1.279 |
ñandú | 2 | 1,789 | 1,786 |
3 | 2,97 | ||
Titán | 4 | 4.149 | 4.140 |
Hyperion | 5 | 5.034 | 5.023 |
6 | 6.3 | ||
7 | 6,65 | ||
8 | 7.00 | ||
Jápeto | 9 | 12.09 | 12.11 |
Phoebe | 10 | 43,92 | 43,85 |
Sistema de urano | norte | Distancia | Ley Blagg |
---|---|---|---|
(Miranda) | -2 | (0,678) | 0,64 |
-1 | 0,77 | ||
Ariel | 0 | 1.000 | 1.000 |
Umbriel | 1 | 1.394 | 1.393 |
Titania | 2 | 2.293 | 2.286 |
Oberon | 3 | 3.058 | 3.055 |
Formulación de Richardson
En 1945, DE Richardson [15] llegó de forma independiente a la misma conclusión que Blagg, que el índice de progresión no era 2, sino 1,728:
dónde es una función oscilatoria de , representado por distancias desde un origen descentrado hasta puntos que varían angularmente en una "elipse de distribución".
Inercia histórica
Nieto, quien llevó a cabo la primera revisión integral moderna de la Ley de Titius-Bode [16] señaló que "la influencia psicológica de la Ley sobre astronomía ha sido tal que la gente siempre ha tendido a considerar su forma original como aquella en la que basar las teorías . " Fue enfático en que "las teorías futuras deben deshacerse del sesgo de tratar de explicar una proporción de progresión de 2":
Una cosa que debe enfatizarse es que debe abandonarse el sesgo histórico hacia una proporción de progresión de 2. Debería quedar claro que la primera formulación de Titius (con su primer término asimétrico) debería verse como una buena primera suposición. Ciertamente, se debe no necesariamente se puede ver como la mejor estimación para referirse a las teorías. Pero en astronomía el peso de la historia es pesado ... A pesar de que el número 1,73 es mucho mejor, los astrónomos se aferran al número 2 original [1].
Explicaciones teóricas
Ninguna explicación teórica sólida subyace a la ley de Titius-Bode, pero es posible que, dada una combinación de resonancia orbital y escasez de grados de libertad , cualquier sistema planetario estable tenga una alta probabilidad de satisfacer una relación de tipo Titius-Bode. Dado que puede ser una coincidencia matemática en lugar de una "ley de la naturaleza", a veces se la denomina una regla en lugar de una "ley". [17] Por un lado, el astrofísico Alan Boss afirma que es solo una coincidencia, y la revista de ciencia planetaria Icarus ya no acepta artículos que intenten proporcionar versiones mejoradas de la "ley". [11] Por otro lado, una cantidad creciente de datos de sistemas exoplanetarios apunta a un cumplimiento generalizado de esta regla en otros sistemas planetarios. [ cita requerida ]
La resonancia orbital de los principales cuerpos en órbita crea regiones alrededor del Sol que están libres de órbitas estables a largo plazo. Los resultados de las simulaciones de formación planetaria apoyan la idea de que un sistema planetario estable elegido al azar probablemente satisfará una ley de Titius-Bode. [18]
Dubrulle y Graner [19] [20] demostraron que las reglas de distancia de ley de potencias pueden ser una consecuencia del colapso de modelos de nubes de sistemas planetarios que poseen dos simetrías: invariancia rotacional (es decir, la nube y su contenido son simétricos axialmente) e invariancia de escala ( es decir, la nube y su contenido se ven iguales en todas las escalas). Esta última es una característica de muchos fenómenos que se considera que juegan un papel en la formación planetaria, como la turbulencia.
Sistemas de satélites naturales y sistemas exoplanetarios
Solo se dispone de un número limitado de sistemas sobre los que se puede probar actualmente la ley de Bode. Dos planetas solares tienen suficientes lunas grandes, que probablemente se formaron en un proceso similar al que formó los planetas. Los cuatro grandes satélites de Júpiter y el satélite interior más grande (es decir, Amaltea ) se adhieren a un espaciamiento regular, pero no Titius-Bode, con los cuatro satélites más internos encerrados en períodos orbitales que son cada uno el doble del siguiente satélite interno. De manera similar, las grandes lunas de Urano tienen un espaciamiento regular que no es Titius-Bode. [21] Sin embargo, según Martin Harwit
- "Una nueva redacción leve de esta ley nos permite incluir no sólo las órbitas planetarias alrededor del Sol, sino también las órbitas de las lunas alrededor de sus planetas padres". [22]
La nueva redacción se conoce como " ley de Dermott ".
De los descubrimientos recientes de sistemas planetarios extrasolares, pocos tienen suficientes planetas conocidos para probar si se aplican reglas similares. Un intento con 55 Cancri sugirió la ecuacióny controvertidamente [23] predice paraun planeta sin descubrir o un campo de asteroides a 2 UA . [24] Además, el período orbital y el eje semi-mayor del planeta más interno en el sistema 55 Cancri han sido revisados en gran medida (de 2.817 días a 0.737 días y de 0.038 AU a 0.016 AU , respectivamente) desde la publicación de estos estudios. [25]
Investigaciones astronómicas recientes sugieren que los sistemas planetarios alrededor de algunas otras estrellas pueden seguir leyes similares a las de Titius-Bode. [26] [27] Bovaird y Lineweaver [28] aplicaron una relación Titius-Bode generalizada a 68 sistemas de exoplanetas que contienen cuatro o más planetas. Demostraron que el 96% de estos sistemas de exoplanetas se adhieren a una relación Titius-Bode generalizada en un grado similar o mayor que el del Sistema Solar. Las ubicaciones de exoplanetas potencialmente no detectados se predicen en cada sistema.
La investigación posterior detectó cinco candidatos a planetas de los 97 planetas predichos para los 68 sistemas planetarios. El estudio mostró que el número real de planetas podría ser mayor. Actualmente se desconocen las tasas de ocurrencia de planetas del tamaño de Marte y Mercurio, por lo que muchos planetas podrían pasarse por alto debido a su pequeño tamaño. Otras posibles razones que pueden explicar las aparentes discrepancias incluyen planetas que no transitan la estrella o circunstancias en las que el espacio predicho está ocupado por discos circunestelares . A pesar de estos tipos de concesiones, el número de planetas encontrados con las predicciones de la ley de Titius-Bode fue menor de lo esperado. [29]
En un artículo de 2018, se propuso la idea de un hipotético octavo planeta alrededor de TRAPPIST-1 llamado "TRAPPIST-1i" mediante el uso de la ley de Titius-Bode. TRAPPIST-1i tuvo una predicción basada exclusivamente en la ley de Titius-Bode con un período orbital de 27,53 ± 0,83 días . [30]
Finalmente, las estadísticas en bruto de las órbitas exoplanetarias apuntan fuertemente a un cumplimiento general de las leyes similares a las de Titius-Bode (con un aumento exponencial de los ejes semi-mayores en función del índice planetario) en todos los sistemas exoplanetarios; al hacer un histograma ciego de semiejes mayores orbitales para todos los exoplanetas conocidos para los que se conoce esta magnitud, y compararlo con lo que debería esperarse si los planetas se distribuyen de acuerdo con las leyes similares a las de Titius-Bode, un grado significativo de concordancia (es decir, , 78%) [31] . [32]
Ver también
- Ley de Dermott
- Phaeton (planeta hipotético)
- Espiral logarítmica
- Potencial de Lennard-Jones
Notas al pie
- ↑ El espaciado parece pasar de la complicada serie de Titius a un simple espaciado igual a partir de Saturno, siendo Neptuno el primer planeta importante que no se ajusta a la regla de Titius-Bode.
- ↑ La nota al pie de Bode inicialmente no tenía fuente, pero en versiones posteriores se le atribuye a Titius, y en las memorias de Bode se refiere a Titius, reconociendo claramente la prioridad de Titius.
- ^ Los cosistas eran expertos en cálculos de todo tipo y eran empleados por comerciantes y empresarios para resolver complejos problemas contables. Su nombre deriva de la palabra italiana cosa , que significa "cosa", porque usaban símbolos para representar una cantidad desconocida, similar a la forma en que los matemáticos modernos usanLos solucionadores de problemas profesionales de esta época inventaron sus propios métodos inteligentes para realizar cálculos y harían todo lo posible para mantener estos métodos en secreto a fin de mantener la reputación de ser la única persona capaz de resolver un problema en particular. [ cita requerida ]
- ↑ a b Tomàs Cerdà (1715-1791), fue un jesuita que ocupó la Real Cátedra de Matemáticas en el Colegio de Sant Jaume de Cordelles, Barcelona (Imperial y Real Seminario de Nobles de Cordellas).
- ↑ Lluís Gasiot revisó el Tratado de Astronomía de Cerdàstraduciendo el manuscrito original, conservado en la Real Academia de Historia de Madrid. Fue publicado en 1999. La revisión se basó en Astronomiae physicae de David Gregory (1702) y Philosophia Britannica de Benjamin Martin (1747).
Referencias
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Otras lecturas
- La mano fantasmal que espaciaba los planetas New Scientist 9 de abril de 1994, p13
- Plantas y planetas: la ley de Titius-Bode explicada por HJR Perdijk
- Distancias planetarias y ley de Titius-Bode (español) por Dr. Ramon Parés