En el estudio matemático de álgebras de Lie y grupos de Lie , un diagrama de Satake es una generalización de un diagrama de Dynkin introducido por Satake ( 1960 , p.109) cuyas configuraciones clasifican álgebras de Lie simples sobre el campo de los números reales . Los diagramas de Satake asociados a un diagrama de Dynkin clasifican formas reales del álgebra de Lie compleja correspondiente al diagrama de Dynkin.
De manera más general, el índice de Tits o diagrama de Satake-Tits de un grupo algebraico reductivo sobre un campo es una generalización del diagrama de Satake a campos arbitrarios, introducido por Tits ( 1966 ), que reduce la clasificación de grupos algebraicos reductivos a la de anisotrópicos reductivos . grupos algebraicos.
Un diagrama de Satake se obtiene a partir de un diagrama de Dynkin ennegreciendo algunos vértices y conectando otros vértices en pares mediante flechas, de acuerdo con ciertas reglas.
Supongamos que G es un grupo algebraico definido sobre un cuerpo k , como los reales. Sea S un toroide dividido máximo en G , y tomemos T como un toroide máximo que contiene S definido sobre la clausura algebraica separable K de k . Entonces G ( K ) tiene un diagrama de Dynkin con respecto a alguna elección de raíces positivas de T. Este diagrama de Dynkin tiene una acción natural del grupo de Galois de K / k . También algunas de las raíces simples desaparecen en S . El diagrama Satake-Titsviene dada por el diagrama de Dynkin D , junto con la acción del grupo de Galois, con las raíces simples desvaneciéndose en S coloreadas de negro. En el caso de que k sea el campo de los números reales, el grupo absoluto de Galois tiene orden 2, y su acción sobre D se representa dibujando puntos conjugados del diagrama de Dynkin uno cerca del otro, y el diagrama de Satake-Tits se llama diagrama de Satake .
Tanto los diagramas de Satake como los de Vogan se utilizan para clasificar grupos de Lie semisimples o álgebras (o grupos algebraicos) sobre los reales y ambos consisten en diagramas de Dynkin enriquecidos ennegreciendo un subconjunto de los nodos y conectando algunos pares de vértices mediante flechas. Los diagramas de Satake, sin embargo, se pueden generalizar a cualquier campo (ver arriba) y caen bajo el paradigma general de la cohomología de Galois , mientras que los diagramas de Vogan se definen específicamente sobre los reales. En términos generales, la estructura de un álgebra de Lie semisimple real se codifica de manera más transparente en su diagrama de Satake, pero los diagramas de Vogan son más simples de clasificar.