En matemáticas , la noción de forma real relaciona objetos definidos en el campo de los números reales y complejos . Un álgebra de Lie real g 0 se llama una forma real de un álgebra de Lie compleja g si g es la complejidad de g 0 :
La noción de forma real también se puede definir para grupos de Lie complejos . Élie Cartan clasificó completamente las formas reales de los grupos de Lie semisimples complejos y las álgebras de Lie .
Formas reales para grupos de Lie y grupos algebraicos
Utilizando la correspondencia de Lie entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie , se puede definir la noción de una forma real para los grupos de Lie. En el caso de los grupos algebraicos lineales , las nociones de complexificación y forma real tienen una descripción natural en el lenguaje de la geometría algebraica .
Clasificación
Así como las álgebras de Lie semisimple complejas se clasifican mediante diagramas de Dynkin , las formas reales de un álgebra de Lie semisimple se clasifican mediante diagramas de Satake , que se obtienen del diagrama de Dynkin de la forma compleja al etiquetar algunos vértices de negro (rellenos) y conectar otros vértices en pares por flechas, de acuerdo con ciertas reglas.
Es un hecho básico en la teoría de la estructura de las álgebras de Lie complejas semisimple que cada álgebra tiene dos formas reales especiales: una es la forma real compacta y corresponde a un grupo de Lie compacto bajo la correspondencia de Lie (su diagrama de Satake tiene todos los vértices ennegrecidos) , y el otro es la forma real dividida y corresponde a un grupo de Lie que está lo más lejos posible de ser compacto (su diagrama de Satake no tiene vértices ennegrecidos ni flechas). En el caso del grupo lineal especial complejo SL ( n , C ), la forma real compacta es el grupo unitario especial SU ( n ) y la forma real dividida es el grupo lineal especial real SL ( n , R ). Élie Cartan logró la clasificación de formas reales de álgebras de Lie semisimples en el contexto de los espacios simétricos de Riemann . En general, puede haber más de dos formas reales.
Suponga que g 0 es un álgebra de Lie semisimple sobre el campo de los números reales. Según el criterio de Cartan , la forma de Matar no es degenerada y se puede diagonalizar de forma adecuada con las entradas diagonales +1 o -1. Según la ley de inercia de Sylvester , el número de entradas positivas, o el índice de inercia positivo, es una invariante de la forma bilineal, es decir, no depende de la elección de la base diagonalizante. Este es un número entre 0 y la dimensión de g, que es un invariante importante del álgebra de Lie real, llamado índice .
Dividir forma real
Se dice que una forma real g 0 de un álgebra de Lie semisimple compleja de dimensión finita g está dividida , o es normal , si en cada descomposición de Cartan g 0 = k 0 ⊕ p 0 , el espacio p 0 contiene una subálgebra abeliana máxima de g 0 , es decir, su subálgebra de Cartan . Élie Cartan demostró que todo álgebra de Lie compleja semisimple g tiene una forma real dividida, que es única hasta el isomorfismo. [1] Tiene un índice máximo entre todas las formas reales.
La forma dividida corresponde al diagrama de Satake sin vértices ennegrecidos y sin flechas.
Forma real compacta
Un álgebra de Lie real g 0 se llama compacta si la forma de Killing es definida negativa , es decir, el índice de g 0 es cero. En este caso, g 0 = k 0 es un álgebra de Lie compacta . Se sabe que bajo la correspondencia de Lie , las álgebras de Lie compactas corresponden a grupos de Lie compactos .
La forma compacta corresponde al diagrama de Satake con todos los vértices ennegrecidos.
Construcción de la forma real compacta
En general, la construcción de la forma real compacta utiliza la teoría de la estructura de álgebras de Lie semisimples. Para las álgebras de Lie clásicas hay una construcción más explícita.
Sea g 0 un álgebra de Lie real de matrices sobre R que está cerrada bajo el mapa de transposición,
Entonces g 0 se descompone en la suma directa de su parte simétrica oblicua k 0 y su parte simétrica p 0 , esta es la descomposición de Cartan :
La complexificación g de g 0 se descompone en la suma directa de g 0 e ig 0 . El espacio vectorial real de matrices
es un subespacio del complejo álgebra g de Lie que está cerrado bajo los conmutadores y consta de matrices sesgadas-hermitianas . De ello se deduce que u 0 es una subálgebra de Lie real de g , que su forma Killing es definida negativa (lo que la convierte en un álgebra de Lie compacta) y que la complexificación de u 0 es g . Por tanto, u 0 es una forma compacta de g .
Ver también
Notas
- ^ Helgason 1978 , p. 426
Referencias
- Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, Grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
- Knapp, Anthony (2004), Lie Groups: Beyond an Introduction , Progress in Mathematics, 140 , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5