En matemáticas , un par ( B , N ) es una estructura sobre grupos de tipo Lie que permite dar pruebas uniformes de muchos resultados, en lugar de dar un gran número de pruebas caso por caso. En términos generales, muestra que todos estos grupos son similares al grupo lineal general sobre un campo. Fueron introducidos por el matemático Jacques Tits , y también se conocen a veces como sistemas de Tits .
La idea de esta definición es que B es un análogo de las matrices triangulares superiores del grupo lineal general GL n ( K ), H es un análogo de las matrices diagonales y N es un análogo del normalizador de H .
El subgrupo B a veces se denomina subgrupo de Borel , H a veces se denomina subgrupo de Cartan y W se denomina grupo de Weyl . El par ( W , S ) es un sistema de Coxeter .
El mapa que lleva w a BwB es un isomorfismo del conjunto de elementos de W al conjunto de clases laterales dobles de B ; esta es la descomposición de Bruhat G = BWB .
Si T es un subconjunto de S , entonces sea W ( T ) el subgrupo de W generado por T : definimos y G ( T ) = BW ( T ) B como el subgrupo parabólico estándar para T. Los subgrupos de G que contienen conjugados de B son los subgrupos parabólicos ; Los conjugados de B se denominan subgrupos de Borel (o subgrupos parabólicos mínimos). Estos son precisamente los subgrupos parabólicos estándar.
Los pares BN se pueden usar para probar que muchos grupos de tipo Lie son simples módulo sus centros. Más precisamente, si G tiene un par BN tal que B es un grupo soluble , la intersección de todos los conjugados de B es trivial y el conjunto de generadores de W no se puede descomponer en dos conjuntos de conmutación no vacíos, entonces G es simple siempre que sea un grupo perfecto . En la práctica, todas estas condiciones excepto que G sea perfecta son fáciles de verificar. Comprobando que Ges perfecto necesita algunos cálculos un poco complicados (y de hecho hay algunos pequeños grupos de tipo Lie que no son perfectos). Pero mostrar que un grupo es perfecto suele ser mucho más fácil que mostrar que es simple.