En matemáticas, la descomposición de Bruhat (introducida por François Bruhat para los grupos clásicos y por Claude Chevalley en general) G = BWB de ciertos grupos algebraicos G en celdas puede considerarse como una expresión general del principio de eliminación de Gauss-Jordan , que escribe genéricamente una matriz como producto de una matriz triangular superior y una triangular inferior, pero con casos excepcionales. Está relacionado con la descomposición celular de Schubert de Grassmannianos: consulte el grupo de Weyl para esto.
De manera más general, cualquier grupo con un par ( B , N ) tiene una descomposición de Bruhat.
Definiciones
- G es un conectado , reductora grupo algebraico sobre un cuerpo algebraicamente cerrado .
- B es un subgrupo Borel de G
- W es un grupo de Weyl de G correspondiente a un toro máxima de B .
La descomposición de Bruhat de G es la descomposición
de G como una unión disjunta de dobles clases laterales de B parametrizado por los elementos del grupo Weyl W . (Tenga en cuenta que aunque W no es en general un subgrupo de G , la clase lateral wB todavía está bien definida porque el toro máximo está contenido en B ).
Ejemplos de
Sea G el grupo lineal general GL n de invertiblematrices con entradas en algún campo algebraicamente cerrado, que es un grupo reductivo . Entonces el grupo de Weyl W es isomorfo al grupo simétrico S n en n letras, con matrices de permutación como representantes. En este caso, podemos tomar B como el subgrupo de matrices invertibles triangulares superiores, por lo que la descomposición de Bruhat dice que se puede escribir cualquier matriz A invertible como un producto U 1 PU 2 donde U 1 y U 2 son triangulares superiores, y P es una matriz de permutación. Escribiendo esto como P = U 1 −1 AU 2 −1 , esto dice que cualquier matriz invertible se puede transformar en una matriz de permutación a través de una serie de operaciones de fila y columna, donde solo podemos agregar la fila i (resp. Columna i ) a la fila j (resp. columna j ) si i > j (resp. i < j ). Las operaciones de fila corresponden a U 1 −1 , y las operaciones de columna corresponden a U 2 −1 .
El grupo lineal especial SL n de invertiblematrices con determinante 1 es un grupo semisimple y, por tanto, reductivo. En este caso, W sigue siendo isomorfo al grupo simétrico S n . Sin embargo, el determinante de una matriz de permutación es el signo de la permutación, por lo que para representar una permutación impar en SL n , podemos tomar uno de los elementos distintos de cero como -1 en lugar de 1. Aquí B es el subgrupo de matrices triangulares superiores con el determinante 1, por lo que la interpretación de la descomposición de Bruhat en este caso es similar al caso de GL n .
Geometría
Las células en la descomposición de Bruhat corresponden a la descomposición de células de Schubert de Grassmannianos. La dimensión de las celdas corresponde a la longitud de la palabra w en el grupo Weyl. La dualidad de Poincaré restringe la topología de la descomposición celular y, por lo tanto, el álgebra del grupo Weyl; por ejemplo, la celda dimensional superior es única (representa la clase fundamental ) y corresponde al elemento más largo de un grupo Coxeter .
Computaciones
El número de celdas en una dimensión dada de la descomposición de Bruhat son los coeficientes del polinomio q [1] del diagrama de Dynkin asociado .
Células dobles de Bruhat
Con dos Borels opuestos, se pueden cruzar las celdas de Bruhat para cada uno de ellos.
Ver también
- Descomposiciones de grupos de mentiras
- Factorización de Birkhoff , un caso especial de la descomposición de Bruhat para grupos afines.
- Álgebra de conglomerados
Notas
Referencias
- Borel, Armand . Grupos algebraicos lineales (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97370-2 .
- Bourbaki, Nicolas , Grupos de Lie y Álgebras de Lie: Capítulos 4–6 (Elementos de las matemáticas) , Springer-Verlag, 2008. ISBN 3-540-42650-7