Grupo Coxeter

Grupo que admite una descripción formal en términos de reflexiones

En matemáticas , un grupo Coxeter , que lleva el nombre de HSM Coxeter , es un grupo abstracto que admite una descripción formal en términos de reflejos (o espejos caleidoscópicos ). De hecho, los grupos de Coxeter finitos son precisamente los grupos de reflexión euclidianos finitos ; los grupos de simetría de poliedros regulares son un ejemplo. Sin embargo, no todos los grupos de Coxeter son finitos y no todos pueden describirse en términos de simetrías y reflejos euclidianos. Los grupos de Coxeter se introdujeron en 1934 como abstracciones de los grupos de reflexión ( Coxeter 1934), y los grupos finitos de Coxeter se clasificaron en 1935 ( Coxeter 1935 ).

Los grupos Coxeter encuentran aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas. Ejemplos de grupos de Coxeter finitos incluyen los grupos de simetría de politopos regulares y los grupos de Weyl de álgebras de Lie simples . Ejemplos de grupos de Coxeter infinitos incluyen los grupos de triángulos correspondientes a teselaciones regulares del plano euclidiano y el plano hiperbólico , y los grupos de Weyl de álgebras Kac-Moody de dimensión infinita .

Las referencias estándar incluyen ( Humphreys 1992 ) y ( Davis 2007 ).

Definición

Formalmente, un grupo Coxeter se puede definir como un grupo con la presentación

${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

donde y para . La condición significa que no se debe imponer ninguna relación de la forma .${\displaystyle m_{ii}=1}$${\displaystyle m_{ij}\geq 2}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle m_{ij}=\infty }$${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}}$

El par donde hay un grupo Coxeter con generadores se llama sistema Coxeter . Tenga en cuenta que, en general, no está determinado únicamente por . Por ejemplo, los grupos de tipo Coxeter y son isomorfos, pero los sistemas Coxeter no son equivalentes (ver más abajo para una explicación de esta notación).${\displaystyle (W,S)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle W}$${\displaystyle B_{3}}$${\displaystyle A_{1}\times A_{3}}$

Se pueden extraer varias conclusiones de la definición anterior.

• La relación significa eso para todos  ; como tales, los generadores son involuciones .${\displaystyle m_{ii}=1}$${\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}$${\displaystyle i}$
• Si , entonces los generadores y los desplazamientos. Esto se sigue al observar que${\displaystyle m_{ij}=2}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{j}}$

${\displaystyle xx=yy=1}$,

Juntos con

${\displaystyle xyxy=1}$

implica que

${\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}$.

Alternativamente, dado que los generadores son involuciones, entonces , y así es igual al conmutador .${\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}$${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}$

• Para evitar la redundancia entre las relaciones, es necesario asumir eso . Esto se sigue al observar que${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$

${\displaystyle yy=1}$,

Juntos con

${\displaystyle (xy)^{m}=1}$

implica que

${\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}$.

Alternativamente, y son elementos conjugados , como .${\displaystyle (xy)^{k}}$${\displaystyle (yx)^{k}}$${\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}$

Matriz de Coxeter y matriz de Schläfli

La matriz de Coxeter es el , matriz simétrica con entradas . De hecho, toda matriz simétrica con entradas diagonales exclusivamente 1 y entradas no diagonales en el conjunto es una matriz de Coxeter.${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle m_{ij}}$${\displaystyle \{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}}$

La matriz de Coxeter se puede codificar convenientemente mediante un diagrama de Coxeter , según las siguientes reglas.

• Los vértices del gráfico están etiquetados por subíndices del generador.
• Vértices y son adyacentes si y solo si .${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle m_{ij}\geq 3}$
• Un borde se etiqueta con el valor de siempre que el valor sea o mayor.${\displaystyle m_{ij}}$${\displaystyle 4}$

En particular, dos generadores conmutan si y solo si no están conectados por un borde. Además, si un gráfico de Coxeter tiene dos o más componentes conectados , el grupo asociado es el producto directo de los grupos asociados a los componentes individuales. Por tanto, la unión disjunta de los gráficos de Coxeter produce un producto directo de los grupos de Coxeter.

La matriz de Coxeter`` está relacionada con la matriz de Schläfli con entradas , pero los elementos se modifican, siendo proporcionales al producto escalar de los generadores por pares. La matriz de Schläfli es útil porque sus valores propios determinan si el grupo de Coxeter es de tipo finito (todos positivos), de tipo afín (todos no negativos, al menos un cero) o de tipo indefinido (de lo contrario). El tipo indefinido a veces se subdivide, por ejemplo, en grupos hiperbólicos y otros grupos Coxeter. Sin embargo, existen múltiples definiciones no equivalentes para grupos Coxeter hiperbólicos.${\displaystyle M_{ij}}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})}$

Ejemplos de

Grupo Coxeter	A 1 × A 1	A 2	B 2	H 2	G 2	${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	A 3	B 3	D 4	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$
Diagrama de Coxeter
Matriz de Coxeter	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&2\\2&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3\\3&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&4\\4&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&5\\5&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&6\\6&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&\infty \\\infty &1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2\\3&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&4&2\\4&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&2\\3&1&3&3\\2&3&1&2\\2&3&2&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&3\\3&1&3&2\\2&3&1&3\\3&2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$
Matriz de Schläfli	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1\\-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-\phi \\-\phi &\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-2\\-2&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0\\-1&\ \,2&-1\\\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,\ \ 2&-{\sqrt {2}}&\ \,0\\-{\sqrt {2}}&\ \,\ \ 2&-1\\\ \,\ \ 0&\ \,-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&\ \,0\\-1&\ \,2&-1&-1\\\ \,0&-1&\ \,2&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,0&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&-1\\-1&\ \,2&-1&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,2&-1\\-1&\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$

Un ejemplo

El gráfico en el que los vértices 1 a n se colocan en una fila con cada vértice conectado por un borde no etiquetado a sus vecinos inmediatos da lugar al grupo simétrico S _{n +1} ; los generadores corresponden a las transposiciones (1 2), (2 3), ..., ( n n +1). Dos transposiciones no consecutivas siempre conmutan, mientras que ( k k +1) ( k +1 k +2) da el ciclo de 3 ( k k +2 k +1). Por supuesto, esto solo muestra que S _{n + 1} es un${\displaystyle A_{n}}$ grupo cociente del grupo de Coxeter descrito por el gráfico, pero no es demasiado difícil comprobar que se cumple la igualdad.

Conexión con grupos de reflexión

Más información: Grupo de reflexión

Los grupos de Coxeter están profundamente conectados con los grupos de reflexión . En pocas palabras, los grupos de Coxeter son grupos abstractos (dados a través de una presentación), mientras que los grupos de reflexión son grupos concretos (dados como subgrupos de grupos lineales o varias generalizaciones). Los grupos de Coxeter surgieron del estudio de los grupos de reflexión: son una abstracción: un grupo de reflexión es un subgrupo de un grupo lineal generado por reflexiones (que tienen orden 2), mientras que un grupo de Coxeter es un grupo abstracto generado por involuciones (elementos de orden 2, abstrayendo de reflexiones), y cuyas relaciones tienen una cierta forma ( , correspondiente a hiperplanos que se encuentran en un ángulo de , con ser de orden${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$${\displaystyle \pi /k}$${\displaystyle r_{i}r_{j}}$k extrayendo de una rotación por ).${\displaystyle 2\pi /k}$

El grupo abstracto de un grupo de reflexión es un grupo de Coxeter, mientras que, a la inversa, un grupo de reflexión puede verse como una representación lineal de un grupo de Coxeter. Para grupos de reflexión finitos , esto produce una correspondencia exacta: cada grupo de Coxeter finito admite una representación fiel como un grupo de reflexión finito de algún espacio euclidiano. Sin embargo, para grupos Coxeter infinitos, un grupo Coxeter puede no admitir una representación como grupo de reflexión.

Históricamente, ( Coxeter 1934 ) probó que todo grupo de reflexión es un grupo Coxeter (es decir, tiene una presentación donde todas las relaciones son de la forma o ), y de hecho este artículo introdujo la noción de un grupo Coxeter, mientras que ( Coxeter 1935 ) probó que cada grupo finito de Coxeter tenía una representación como grupo de reflexión y clasificaba grupos finitos de Coxeter.${\displaystyle r_{i}^{2}}$${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$

Grupos finitos de Coxeter

Gráficos de Coxeter de los grupos finitos de Coxeter.

Clasificación

Los grupos finitos de Coxeter se clasificaron en ( Coxeter 1935 ), en términos de diagramas de Coxeter-Dynkin ; todos están representados por grupos de reflexión de espacios euclidianos de dimensión finita.

Los grupos finitos de Coxeter consisten en tres familias de un parámetro de rango creciente una familia de un parámetro de dimensión dos, y seis grupos excepcionales : y . El producto de un número finito de grupos Coxeter en esta lista es nuevamente un grupo Coxeter, y todos los grupos Coxeter finitos surgen de esta manera.${\displaystyle A_{n},B_{n},D_{n},}$${\displaystyle I_{2}(p),}$${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3},}$${\displaystyle H_{4}}$

Grupos de Weyl

Artículo principal: grupo Weyl

Muchos, pero no todos, son grupos Weyl, y cada grupo Weyl se puede realizar como un grupo Coxeter. Los grupos de Weyl son las familias y y las excepciones y denotado en notación grupo Weyl como los grupos no-Weyl son las excepciones y y la familia excepto cuando esto coincide con uno de los grupos de Weyl (a saber, y ).${\displaystyle A_{n},B_{n},}$${\displaystyle D_{n},}$${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},}$${\displaystyle I_{2}(6),}$${\displaystyle G_{2}.}$${\displaystyle H_{3}}$${\displaystyle H_{4},}$${\displaystyle I_{2}(p)}$${\displaystyle I_{2}(3)\cong A_{2},I_{2}(4)\cong B_{2},}$${\displaystyle I_{2}(6)\cong G_{2}}$

Esto se puede demostrar comparando las restricciones en los diagramas de Dynkin (no dirigidos) con las restricciones en los diagramas de Coxeter de grupos finitos: formalmente, el gráfico de Coxeter se puede obtener del diagrama de Dynkin descartando la dirección de los bordes y reemplazando cada borde doble con un borde etiquetado 4 y cada borde triple por un borde etiquetado 6. También tenga en cuenta que cada grupo Coxeter generado de forma finita es un grupo automático . ^{[1] Los} diagramas de Dynkin tienen la restricción adicional de que las únicas etiquetas de borde permitidas son 2, 3, 4 y 6, lo que da como resultado lo anterior. Geométricamente, esto corresponde al teorema de restricción cristalográfica, y el hecho de que los politopos excluidos no llenan el espacio ni embaldosan el plano, ya que el dodecaedro (doblemente, icosaedro) no llena el espacio; para el de 120 celdas (dualmente, 600 celdas) no llena el espacio; porque un p -gon no enlosa el plano excepto para o (los mosaicos triangular, cuadrado y hexagonal, respectivamente).${\displaystyle H_{3},}$${\displaystyle H_{4},}$${\displaystyle I_{2}(p)}$${\displaystyle p=3,4,}$${\displaystyle 6}$

Tenga en cuenta además que los diagramas de Dynkin (dirigidos) B _n y C _n dan lugar al mismo grupo de Weyl (de ahí el grupo Coxeter), porque difieren como gráficos dirigidos , pero concuerdan como gráficos no dirigidos: la dirección importa para los sistemas de raíces pero no para los de Weyl. grupo; esto corresponde a que el hipercubo y el politopo cruzado son politopos regulares diferentes pero que tienen el mismo grupo de simetría.

Propiedades

En la siguiente tabla se dan algunas propiedades de los grupos de Coxeter finitos e irreducibles. El orden de los grupos reducibles se puede calcular mediante el producto de sus órdenes de subgrupos irreductibles.

Rango n	Símbolo de grupo	Símbolo alternativo	Notación de corchetes	Gráfico de Coxeter	Reflexiones m = 1 ⁄ 2 nh [2]	Coxeter número h	Pedido	Estructura de grupo [3]	Politopos relacionados
1	A 1	A 1	[]		1	2	2	${\displaystyle S_{2}}$	{}
2	A 2	A 2	[3]		3	3	6	${\displaystyle S_{3}\cong D_{6}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(2)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(4)}$	{3}
3	A 3	A 3	[3,3]		6	4	24	${\displaystyle S_{4}}$	{3,3}
4	A 4	A 4	[3,3,3]		10	5	120	${\displaystyle S_{5}}$	{3,3,3}
5	A 5	A 5	[3,3,3,3]		15	6	720	${\displaystyle S_{6}}$	{3,3,3,3}
norte	A n	A n	[3 n −1 ]	...	n ( n + 1) / 2	n + 1	( n + 1)!	${\displaystyle S_{n+1}}$	n -simplex
2	B 2	C 2	[4]		4	4	8	${\displaystyle C_{2}\wr S_{2}\cong D_{8}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(3)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(5)}$	{4}
3	B 3	C 3	[4,3]		9	6	48	${\displaystyle C_{2}\wr S_{3}\cong S_{4}\times 2}$	{4,3} / {3,4}
4	B 4	C 4	[4,3,3]		dieciséis	8	384	${\displaystyle C_{2}\wr S_{4}}$	- {4,3,3} / {3,3,4}
5	B 5	C 5	[4,3,3,3]		25	10	3840	${\displaystyle C_{2}\wr S_{5}}$	{4,3,3,3} / {3,3,3,4}
norte	B n	C n	[4,3 n −2 ]	...	n 2	2 n	2 n n !	${\displaystyle C_{2}\wr S_{n}}$	n -cube / n -orthoplex
4	D 4	B 4	[3 1,1,1 ]		12	6	192	${\displaystyle C_{2}^{3}S_{4}\cong 2^{1+4}\colon S_{3}}$	h {4,3,3} / {3,3 1,1 }
5	D 5	B 5	[3 2,1,1 ]		20	8	1920	${\displaystyle C_{2}^{4}S_{5}}$	h {4,3,3,3} / {3,3,3 1,1 }
norte	D n	B n	[3 n −3,1,1 ]	...	n ( n - 1)	2 ( n - 1)	2 n −1 n !	${\displaystyle C_{2}^{n-1}S_{n}}$	n -demicube / n -orthoplex
6	E 6	E 6	[3 2,2,1 ]		36	12	51840 (¡72x6!)	${\displaystyle \operatorname {GO} _{6}^{-}(2)\cong \operatorname {SO} _{5}(3)\cong \operatorname {PSp} _{4}(3)\colon 2\cong \operatorname {PSU} _{4}(2)\colon 2}$	2 21 , 1 22
7	E 7	E 7	[3 3,2,1 ]		63	18	2903040 (¡72x8!)	${\displaystyle \operatorname {GO} _{7}(2)\times 2\cong \operatorname {Sp} _{6}(2)\times 2}$	3 21 , 2 31 , 1 32
8	E 8	E 8	[3 4,2,1 ]		120	30	696729600 (192x10!)	${\displaystyle 2\cdot \operatorname {GO} _{8}^{+}(2)}$	4 21 , 2 41 , 1 42
4	F 4	F 4	[3,4,3]		24	12	1152	${\displaystyle \operatorname {GO} _{4}^{+}(3)\cong 2^{1+4}\colon (S_{3}\times S_{3})}$	{3,4,3}
2	G 2	- ( D6 2)	[6]		6	6	12	${\displaystyle D_{12}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(5)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(7)}$	{6}
2	H 2	G 2	[5]		5	5	10	${\displaystyle D_{10}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(4)}$	{5}
3	H 3	G 3	[3,5]		15	10	120	${\displaystyle 2\times A_{5}}$	{3,5} / {5,3}
4	H 4	G 4	[3,3,5]		60	30	14400	${\displaystyle 2\cdot (A_{5}\times A_{5})\colon 2}$[a]	{5,3,3} / {3,3,5}
2	Yo 2 ( n )	Dn 2	[ n ]		norte	norte	2 n	${\displaystyle D_{2n}}$ ${\displaystyle \cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(n-1)}$cuando n = p k + 1, p primo cuando n = p k - 1, p primo${\displaystyle \cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(n+1)}$	{ p }

Grupos de simetría de politopos regulares

Todos los grupos de simetría de politopos regulares son grupos de Coxeter finitos. Tenga en cuenta que los politopos duales tienen el mismo grupo de simetría.

Hay tres series de politopos regulares en todas las dimensiones. El grupo de simetría de un n - simplex regular es el grupo simétrico S _{n +1} , también conocido como el grupo Coxeter de tipo A _n . El grupo de simetría del n - cubo y su dual, el n - politopo cruzado , es B _n , y se conoce como grupo hiperoctaédrico .

Los excepcionales politopos regulares en las dimensiones dos, tres y cuatro, corresponden a otros grupos de Coxeter. En dos dimensiones, los grupos diedros , que son los grupos de simetría de polígonos regulares , forman la serie I ₂ ( p ). En tres dimensiones, el grupo de simetría del dodecaedro regular y su dual, el icosaedro regular , es H ₃ , conocido como grupo icosaédrico completo . En cuatro dimensiones, hay tres politopos regulares especiales, el de 24 celdas , el de 120 celdas y el de 600 celdas . El primero tiene el grupo de simetría F₄ , mientras que los otros dos son duales y tienen el grupo de simetría H ₄ .

Los grupos de Coxeter de tipo D _n , E ₆ , E ₇ y E ₈ son los grupos de simetría de ciertos politopos semirregulares .

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Tabla de familias de politopos irreducibles
Familia n	n- simplex	n- hipercubo	n- ortoplex	n- demicube	1 k2	2 k1	k 21	politopo pentagonal
Grupo	A n	B n		Yo 2 (p) D n	E 6 E 7 E 8 F 4 G 2			H n
2	Triángulo	Cuadrado		p-gon (ejemplo: p = 7 )	Hexágono			Pentágono
3	Tetraedro	Cubo	Octaedro	Tetraedro				Dodecaedro	Icosaedro
4	5 celdas	Tesseract	16 celdas	Demitesseract	24 celdas			120 celdas	600 celdas
5	5-simplex	5 cubos	5-ortoplex	5-demicubo
6	6-simplex	6 cubos	6-ortoplex	6-demicubo	1 22	2 21
7	7-simplex	7 cubos	7-ortoplex	7-demicubo	1 32	2 31	3 21
8	8 simplex	8 cubos	8-ortoplex	8-demicubo	1 42	2 41	4 21
9	9 simplex	9 cubos	9-ortoplex	9-demicubo
10	10-simplex	10 cubos	10-ortoplex	10-demicubo

Grupos afines de Coxeter

Diagramas de Coxeter para los grupos Affine Coxeter

Diagrama de Stiefel para el sistema radicular${\displaystyle G_{2}}$

Ver también: diagrama de Affine Dynkin y sistema de raíces Affine

Los grupos afines Coxeter forman una segunda serie importante de grupos Coxeter. Estos no son finitos en sí mismos, pero cada uno contiene un subgrupo abeliano normal de modo que el grupo cociente correspondiente es finito. En cada caso, el grupo del cociente es en sí mismo un grupo de Coxeter, y el gráfico de Coxeter del grupo de Coxeter afín se obtiene del gráfico de Coxeter del grupo del cociente al agregar otro vértice y una o dos aristas adicionales. Por ejemplo, para n  ≥ 2, la gráfica que consta de n +1 vértices en un círculo se obtiene de A _n de esta manera, y el grupo Coxeter correspondiente es el grupo Weyl afín de A _n (el grupo simétrico afín ). Para n  = 2, esto se puede representar como un subgrupo del grupo de simetría del mosaico estándar del plano mediante triángulos equiláteros.

En general, dado un sistema de raíces, se puede construir el diagrama de Stiefel asociado , que consiste en los hiperplanos ortogonales a las raíces junto con ciertas traslaciones de estos hiperplanos. El grupo Coxeter afín (o grupo Weyl afín) es entonces el grupo generado por las reflexiones (afines) sobre todos los hiperplanos del diagrama. ^[4] El diagrama de Stiefel divide el plano en infinitos componentes conectados llamados nichos , y el grupo afín Coxeter actúa libre y transitivamente en los nichos, al igual que el grupo Weyl ordinario actúa libre y transitivamente en las cámaras de Weyl. La figura de la derecha ilustra el diagrama de Stiefel para el sistema de raíces.${\displaystyle G_{2}}$

Supongamos que es un sistema de raíces irreductibles de rango y sea ​​una colección de raíces simples. Denotemos también la raíz más alta. Luego, el grupo afín de Coxeter se genera mediante las reflexiones ordinarias (lineales) sobre los hiperplanos perpendiculares a , junto con una reflexión afín sobre una traslación del hiperplano perpendicular a . El gráfico de Coxeter para el grupo afín de Weyl es el diagrama de Coxeter-Dynkin para , junto con un nodo adicional asociado a . En este caso, un nicho del diagrama de Stiefel puede obtenerse tomando la cámara de Weyl fundamental y cortándola mediante un traslado del hiperplano perpendicular a . ^[5]${\displaystyle R}$${\displaystyle r>1}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$${\displaystyle \alpha _{r+1}}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$${\displaystyle \alpha _{r+1}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \alpha _{r+1}}$${\displaystyle \alpha _{r+1}}$

A continuación, se incluye una lista de los grupos afines de Coxeter:

Símbolo de grupo	Símbolo de Witt	Notación de corchetes	Gráfico de Coxeter	Teselados uniformes relacionados
${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$	${\displaystyle P_{n+1}}$	[3 [ n ] ]	... o ...	Panal simplectic
${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}$	${\displaystyle S_{n+1}}$	[4,3 n - 3 , 3 1,1 ]	...	Panal demihipercúbico
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$	${\displaystyle R_{n+1}}$	[4,3 n −2 , 4]	...	Panal hipercúbico
${\displaystyle {\tilde {D}}_{n}}$	${\displaystyle Q_{n+1}}$	[3 1,1 , 3 n −4 , 3 1,1 ]	...	Panal demihipercúbico
${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$	${\displaystyle T_{7}}$	[3 2,2,2 ]	o	2 22
${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$	${\displaystyle T_{8}}$	[3 3,3,1 ]	o	3 31 , 1 33
${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	${\displaystyle T_{9}}$	[3 5,2,1 ]		5 21 , 2 51 , 1 52
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$	${\displaystyle U_{5}}$	[3,4,3,3]		Panal de abeja de 16 celdas Panal de abeja de 24 celdas
${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	${\displaystyle V_{3}}$	[6,3]		Alicatado hexagonal y alicatado triangular
${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	${\displaystyle W_{2}}$	[∞]		Apeirogon

El subíndice del símbolo de grupo es uno menos que el número de nodos en cada caso, ya que cada uno de estos grupos se obtuvo agregando un nodo al gráfico de un grupo finito.

Grupos de Coxeter hiperbólico

Hay infinitos grupos de Coxeter hiperbólicos que describen grupos de reflexión en el espacio hiperbólico , incluyendo notablemente los grupos de triángulos hiperbólicos.

Órdenes parciales

Una elección de generadores de reflexión da lugar a una función de longitud ℓ en un grupo Coxeter, a saber, el número mínimo de usos de generadores necesarios para expresar un elemento de grupo; esta es precisamente la longitud de la métrica de palabras en el gráfico de Cayley . Una expresión para v usando generadores ℓ ( v ) es una palabra reducida . Por ejemplo, la permutación (13) en S ₃ tiene dos palabras reducidas, (12) (23) (12) y (23) (12) (23). La función define un mapa que generaliza el mapa de signos para el grupo simétrico.${\displaystyle v\to (-1)^{\ell (v)}}$${\displaystyle G\to \{\pm 1\},}$

Usando palabras reducidas, se pueden definir tres órdenes parciales en el grupo Coxeter, el orden débil (derecho) , el orden absoluto y el orden Bruhat (llamado así por François Bruhat ). Un elemento v excede a un elemento u en el orden de Bruhat si alguna (o equivalentemente, cualquier) palabra reducida para v contiene una palabra reducida para u como una subcadena, donde se eliminan algunas letras (en cualquier posición). En el orden débil, v  ≥  u si alguna palabra reducida para v contiene una palabra reducida para ucomo segmento inicial. De hecho, la longitud de la palabra convierte esto en un poset graduado . Los diagramas de Hasse correspondientes a estos órdenes son objeto de estudio y están relacionados con el gráfico de Cayley determinado por los generadores. El orden absoluto se define de forma análoga al orden débil, pero con un conjunto generador / alfabeto que consta de todos los conjugados de los generadores Coxeter.

Por ejemplo, la permutación (1 2 3) en S ₃ tiene solo una palabra reducida, (12) (23), por lo que cubre (12) y (23) en el orden Bruhat pero solo cubre (12) en el orden débil.

Homología

Dado que un grupo de Coxeter es generado por un número finito de elementos de orden 2, su abelianización es un grupo 2 abeliano elemental , es decir, es isomorfo a la suma directa de varias copias del grupo cíclico . Esto puede reformularse en términos del primer grupo de homología de .${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle W}$

El multiplicador de Schur , igual al segundo grupo de homología de , se calculó en ( Ihara y Yokonuma 1965 ) para grupos de reflexión finitos y en ( Yokonuma 1965 ) para grupos de reflexión afines, con una explicación más unificada dada en ( Howlett 1988 ). En todos los casos, el multiplicador de Schur es también un grupo 2 abeliano elemental. Para cada familia infinita de grupos de Weyl finitos o afines, el rango de se estabiliza a medida que avanza hasta el infinito.${\displaystyle M(W)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \{W_{n}\}}$${\displaystyle M(W_{n})}$${\displaystyle n}$

Ver también

• Grupo Artin-Tits
• Teorema de Chevalley-Shephard-Todd
• Grupo de reflexión complejo
• Elemento Coxeter
• Álgebra de Iwahori-Hecke , una deformación cuántica del álgebra de grupos
• Polinomio de Kazhdan-Lusztig
• El elemento más largo de un grupo Coxeter
• Arreglo superesoluble

Notas

1. un subgrupo de índice 2 de${\displaystyle \operatorname {GO} _{4}^{+}(5)}$

Referencias

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4. Salón 2015 Sección 13.6
5. Hall 2015 Capítulo 13, Ejercicios 12 y 13

Lectura adicional

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• Hiller, Howard (1982), Geometría de grupos de Coxeter , Notas de investigación en matemáticas, 54 , Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl  0483.57002
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• Yokonuma, Takeo (1965), "Sobre los segundos grupos de cohomología (multiplicadores de Schur) de infinitos grupos de reflexión discretos", Jour. Fac. Sci. Univ. Tokio, Secta. 1 , 11 : 173–186, hdl : 2261/6049 , Zbl  0136.28803

Enlaces externos

• "Grupo Coxeter" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Grupo Coxeter" . MathWorld .
• Software Jenn para visualizar los gráficos de Cayley de grupos Coxeter finitos en hasta cuatro generadores