En la teoría de las álgebras de von Neumann , una parte del campo matemático del análisis funcional , la teoría de Tomita-Takesaki es un método para construir automorfismos modulares de las álgebras de von Neumann a partir de la descomposición polar de una determinada involución. Es esencial para la teoría de los factores de tipo III y ha dado lugar a una buena teoría de la estructura de estos objetos que antes eran intratables.
La teoría fue introducida por Minoru Tomita ( 1967 ), pero su trabajo fue difícil de seguir y en su mayoría inédito, y se le prestó poca atención hasta que Masamichi Takesaki ( 1970 ) escribió un relato de la teoría de Tomita.
Automorfismos modulares de un estado
Suponga que M es un álgebra de von Neumann que actúa sobre un espacio de Hilbert H , y Ω es un vector cíclico y separador de H de la norma 1. ( Cíclico significa que MΩ es denso en H , y que separa significa que el mapa de M a MΩ es inyectiva.) Escribimos para el estado de M , de modo que H se construye a partir deutilizando la construcción Gelfand – Naimark – Segal .
Podemos definir un operador antilineal ilimitado S 0 en H con dominio MΩ estableciendopara todo m en M , y de manera similar podemos definir un operador antilineal ilimitado F 0 en H con dominio M'Ω estableciendopara m en M ', donde M ' es el commutant de M .
Estos operadores se pueden cerrar y denotamos sus cierres por S y F = S *. Tienen descomposiciones polares
dónde es una isometría antilineal llamada conjugación modular y es un operador autoadjunto positivo llamado operador modular .
El principal resultado de la teoría de Tomita-Takesaki establece que:
por todo t y eso
la commutant de M .
Existe una familia de automorfismos modulares de 1 parámetro de M asociado al estado, definido por
El ciclo de Connes
El grupo de automorfismo modular de un álgebra M de von Neumann depende de la elección del estado φ. Connes descubrieron que el cambio de estado no cambia la imagen de la automorphism modular en el grupo externo del automorfismo de M . Más precisamente, dados dos estados fieles φ y ψ de M , podemos encontrar elementos unitarios u t de M para todo real t tal que
de modo que los automorfismos modulares se diferencian por automorfismos internos, y además u t satisface la condición de 1 ciclo
En particular, hay un homomorfismo canónico del grupo aditivo de reales al grupo de automorfismo externo de M , que es independiente de la elección del estado fiel.
Estados de KMS
El término estado KMS proviene de la condición de Kubo-Martin-Schwinger en mecánica estadística cuántica .
Un estado KMS φ en un álgebra de von Neumann M con un grupo de automorfismos de 1 parámetro dado α t es un estado fijado por los automorfismos de manera que para cada par de elementos A , B de M hay una función continua acotada F en la tira 0 ≤ Im ( t ) ≤ 1 , holomorfo en el interior, tal que
Takesaki y Winnink demostraron que un estado (normal semifinito fiel) φ es un estado KMS para el grupo de 1 parámetro de automorfismos modulares . Además, esto caracteriza los automorfismos modulares de φ.
(A menudo hay un parámetro adicional, denotado por β, que se utiliza en la teoría de los estados KMS. En la descripción anterior, esto se ha normalizado a 1 al cambiar la escala de la familia de automorfismos de 1 parámetro).
Estructura de los factores de tipo III
Hemos visto anteriormente que hay un homomorfismo canónico δ del grupo de reales al grupo de automorfismos externos de un álgebra de von Neumann, dado por automorfismos modulares. El núcleo de δ es un invariante importante del álgebra. Para simplificar, suponga que el álgebra de von Neumann es un factor. Entonces las posibilidades para el núcleo de δ son:
- Toda la línea real. En este caso, δ es trivial y el factor es de tipo I o II.
- Un subgrupo denso adecuado de la línea real. Entonces el factor se llama factor de tipo III 0 .
- Un subgrupo discreto generado por algún x > 0. Entonces el factor se llama factor de tipo III λ con 0 <λ = exp (−2 π / x ) <1, o algunas veces un factor de potencias.
- El grupo trivial 0. Entonces el factor se llama factor de tipo III 1 . (Este es, en cierto sentido, el caso genérico).
Álgebras de Hilbert
Los principales resultados de la teoría de Tomita-Takesaki se probaron utilizando álgebras de Hilbert de izquierda y derecha.
Un álgebra de Hilbert izquierda es un álgebra con involución x → x ♯ y un producto interno (,) tal que
- Multiplicación a la izquierda por un fijo a ∈ A es un operador acotado.
- ♯ es el adjunto; en otras palabras ( xy , z ) = ( y , x ♯ z ).
- La involución ♯ está precierre
- El subálgebra atravesado por todos los productos xy es denso en una .
Un álgebra de Hilbert derecha se define de manera similar (con una involución ♭) con la izquierda y la derecha invertidas en las condiciones anteriores.
Un álgebra de Hilbert es un álgebra de Hilbert izquierda tal que además ♯ es una isometría, en otras palabras ( x , y ) = ( y ♯ , x ♯ ).
Ejemplos:
- Si M es un álgebra de von Neumann que actúa sobre un espacio de Hilbert H con un vector de separación cíclico v , entonces ponga A = Mv y defina ( xv ) ( yv ) = xyv y ( xv ) ♯ = x * v . El descubrimiento clave de Tomita fue que esto convierte A en un álgebra de Hilbert izquierda, por lo que, en particular, el cierre del operador ♯ tiene una descomposición polar como la anterior. El vector v es la identidad de A , entonces A es un álgebra de Hilbert izquierda unital.
- Si G es un grupo localmente compacto, entonces el espacio vectorial de todas las funciones complejas continuas en G con soporte compacto es un álgebra de Hilbert derecha si la multiplicación está dada por convolución, y x ♭ ( g ) = x ( g −1 ) *.
Referencias
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