En matemáticas, la noción de vector cíclico y separador es importante en la teoría de las álgebras de von Neumann , [1] [2] y en particular en la teoría de Tomita-Takesaki . Una noción relacionada es la de un vector que es cíclico para un operador dado. La existencia de vectores cíclicos está garantizada por la construcción Gelfand – Naimark – Segal (GNS) .
Definiciones
Dado un espacio de Hilbert H y un espacio lineal A de operadores lineales acotados en H , se dice que un elemento Ω de H es cíclico para A si el espacio lineal A Ω = { a Ω: a ∈ A } es norm-denso en H . Se dice que el elemento Ω se separa si a Ω = 0 con a en A implica a = 0.
- Cualquier elemento Ω de H define una semi-norma p en A por p ( a ) = || a Ω ||. Decir que Ω se está separando es equivalente a decir que p es en realidad una norma .
- Si Ω es cíclico para A continuación, se separa para el commutant A ' , que es el álgebra de von Neumann de todos los operadores delimitadas en H que conmutan con todos los operadores de A . De hecho, si a pertenece a A ′ y satisface a Ω = 0 entonces uno tiene para todo b en A que 0 = ba Ω = ab Ω. Debido a que el conjunto de b Ω con b en A es denso en H esto implica que un anula en una densa subespacio de H . Por continuidad esto implica que a se desvanece en todas partes. Por lo tanto, Ω se separa de A ′ .
El siguiente resultado más fuerte es válido si A es un * -álgebra (un álgebra que está cerrada bajo adjuntos ) y contiene el operador de identidad 1 . Para obtener una prueba, consulte la Proposición 5 de la Parte I, Capítulo 1 de. [2]
Proposición Si A es un * -álgebra de operadores lineales acotados en H y 1 pertenece a A, entonces Ω es cíclico para A si y solo si se separa para el conmutador A ′ .
Un caso especial ocurre cuando A es un álgebra de von Neumann . Entonces un vector Ω que es cíclico y que se separa para A también es cíclico y se separa para el conmutador A ′
Funcionales lineales positivos
Un funcional lineal positivo ω en un * -álgebra A se dice que es fiel si ω ( a ) = 0, donde a es un elemento positivo de A, implica a = 0.
Cada Ω elemento de H define un funcional lineal positiva omega Ω en un -algebra * A de delimitado lineal operadores en H por la relación omega Ω ( un ) = ( un Ω, Ω) para todos una en una . Si omega Ω se define de esta manera y A es un C * -algebra entonces omega Ω es fiel si y sólo si el vector Ω está separando para A . Tenga en cuenta que un álgebra de von Neumann es un caso especial de un álgebra C * .
Propuesta Let φ y Psi ser elementos de H que son cíclica para A . Suponga que ω φ = ω ψ . Entonces existe una isometría U en el conmutador A ′ tal que φ = Uψ .