En la mecánica estadística de los sistemas de mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos , las propiedades de un sistema en equilibrio térmico pueden describirse mediante un objeto matemático llamado estado Kubo- Martin- Schwinger o, más comúnmente, un estado KMS : un estado que satisface el KMS condición . Kubo (1957) introdujo la condición, Martin y Schwinger (1959) la usaron para definir las funciones termodinámicas de Green , y Rudolf Haag , M. Winnink y NM Hugenholtz ( 1967) utilizó la condición para definir estados de equilibrio y la denominó condición KMS.
Descripción general
El caso más simple de estudiar es el de un espacio de Hilbert de dimensión finita , en el que no se encuentran complicaciones como las transiciones de fase o la ruptura espontánea de la simetría . La matriz de densidad de un estado térmico está dada por
donde H es el operador hamiltoniano y N es el operador del número de partículas (u operador de carga , si deseamos ser más generales) y
es la función de partición . Suponemos que N conmuta con H, o en otras palabras, que se conserva el número de partículas .
En la imagen de Heisenberg , la matriz de densidad no cambia con el tiempo, pero los operadores dependen del tiempo. En particular, traducir un operador A por τ al futuro le da al operador
- .
Una combinación de traslación en el tiempo con una "rotación" de simetría interna da la
Un poco de manipulación algebraica muestra que los valores esperados
para dos operadores cualesquiera A y B y cualquier τ real (después de todo, estamos trabajando con espacios de Hilbert de dimensión finita). Usamos el hecho de que la matriz de densidad conmuta con cualquier función de ( H - μ N ) y que la traza es cíclica.
Como se indicó anteriormente, con espacios de Hilbert de dimensión infinita, nos encontramos con muchos problemas como transiciones de fase, ruptura espontánea de simetría, operadores que no son clases de rastreo , funciones de partición divergentes, etc.
Las funciones complejas de z , converge en la franja compleja mientras que converge en la franja compleja si hacemos ciertas suposiciones técnicas como que el espectro de H - μ N está acotado desde abajo y su densidad no aumenta exponencialmente (ver temperatura de Hagedorn ). Si las funciones convergen, entonces tienen que ser analíticas dentro de la franja sobre la que se definen como sus derivadas,
y
existe.
Sin embargo, todavía podemos definir un estado KMS como cualquier estado que satisfaga
con y siendo funciones analíticas de z dentro de sus franjas de dominio.
y son los valores de distribución de frontera de las funciones analíticas en cuestión.
Esto da el límite termodinámico correcto de gran volumen y gran número de partículas. Si hay una transición de fase o una ruptura de simetría espontánea, el estado de KMS no es único.
La matriz de densidad de un estado KMS está relacionada con transformaciones unitarias que implican traslaciones de tiempo (o traslaciones de tiempo y una transformación de simetría interna para potenciales químicos distintos de cero) a través de la teoría de Tomita-Takesaki .
Referencias
- Haag, Rudolf ; Winnink, M .; Hugenholtz, NM (1967), "Sobre los estados de equilibrio en la mecánica estadística cuántica", Communications in Mathematical Physics , 5 (3): 215-236, Bibcode : 1967CMaPh ... 5..215H , CiteSeerX 10.1.1.460.6413 , doi : 10.1007 / BF01646342 , ISSN 0.010 a 3.616 , MR 0.219.283 , S2CID 120899390
- Kubo, R. (1957), "Teoría estadística-mecánica de procesos irreversibles. I. Teoría general y aplicaciones simples a problemas magnéticos y de conducción", Revista de la Sociedad Física de Japón , 12 (6): 570–586, Código Bibliográfico : 1957JPSJ ... 12..570K , doi : 10.1143 / JPSJ.12.570
- Martin, Paul C .; Schwinger, Julian (1959), "Theory of Many-Particle Systems. I", Physical Review , 115 (6): 1342-1373, Bibcode : 1959PhRv..115.1342M , doi : 10.1103 / PhysRev.115.1342