Las ideas topológicas son relevantes para la dinámica de fluidos (incluida la magnetohidrodinámica ) a nivel cinemático , ya que cualquier flujo de fluido implica la deformación continua de cualquier campo escalar o vectorial transportado. Los problemas de agitación y mezcla son particularmente susceptibles a las técnicas topológicas. Así, por ejemplo, la clasificación de Thurston-Nielsen se ha aplicado fructíferamente al problema de la agitación en dos dimensiones mediante cualquier número de agitadores siguiendo un “protocolo de agitación” periódico en el tiempo (Boyland, Aref y Stremler 2000). Otros estudios se refieren a flujos que tienen trayectorias de partículas caóticas y tasas de mezcla exponenciales asociadas (Ottino 1989).
En el nivel dinámico, el hecho de que las líneas de vórtice sean transportadas por cualquier flujo regido por las ecuaciones clásicas de Euler implica la conservación de cualquier estructura de vórtice dentro del flujo. Tales estructuras se caracterizan, al menos en parte, por la helicidad de ciertas subregiones del campo de flujo, una invariante topológica de las ecuaciones. La helicidad juega un papel central en la teoría de la dínamo , la teoría de la generación espontánea de campos magnéticos en estrellas y planetas (Moffatt 1978, Parker 1979, Krause & Rädler 1980). Se sabe que, con pocas excepciones, cualquier flujo turbulento estadísticamente homogéneo que tenga una helicidad media distinta de cero en una extensión suficientemente grande de fluido conductor generará un campo magnético a gran escala mediante la acción de la dínamo. Dichos campos en sí mismos exhiben helicidad magnética , reflejando su propia estructura topológicamente no trivial.
Se concede mucho interés a la determinación de estados de energía mínima, sujetos a la topología prescrita. Muchos problemas de dinámica de fluidos y magnetohidrodinámica caen dentro de esta categoría. Los desarrollos recientes en la dinámica de fluidos topológicos también incluyen aplicaciones a las trenzas magnéticas en la corona solar , el anudamiento del ADN por topoisomerasas , el entrelazamiento de polímeros en la física química y el comportamiento caótico en los sistemas dinámicos. Arnold & Khesin (1998) ofrecen una introducción matemática a este tema y se pueden encontrar artículos y contribuciones de encuestas recientes en Ricca (2009) y Moffatt, Bajer & Kimura (2013).
La topología también es crucial para la estructura de superficies neutrales en un fluido (como el océano) donde la ecuación de estado depende de manera no lineal de múltiples componentes (por ejemplo, salinidad y calor). Las parcelas fluidas permanecen flotantes neutrales a medida que se mueven a lo largo de superficies neutrales, a pesar de las variaciones de salinidad o calor. En tales superficies, la salinidad y el calor están relacionados funcionalmente, pero esta función tiene múltiples valores . Las regiones espaciales dentro de las cuales esta función se convierte en un solo valor son aquellas donde hay como máximo un contorno de salinidad (o calor) por isovalor, que son precisamente las regiones asociadas con cada borde del gráfico de Reeb de la salinidad (o calor) en la superficie (Stanley 2019).
Referencias
- Arnold, VI y Khesin, BA (1998) Métodos topológicos en hidrodinámica . Ciencias Matemáticas Aplicadas 125 , Springer-Verlag. ISBN 9780387949475
- Boyland, PL, Aref, H. & Stremler, MA (2000) Mecánica topológica de fluidos de agitación . J.Fluid Mech. 403 , págs. 277-304.
- Krause, F. y Rädler, K.-H. (1980) Teoría Magnetohidrodinámica y Dinamo de campo medio . Pergamon Press, Oxford. ISBN 9780080250410
- Moffatt, HK (1978) Generación de campo magnético en fluidos conductores de electricidad . Cambridge Univ. Prensa. ISBN 9780521216401
- Moffatt, HK , Bajer, K. y Kimura, Y. (Eds.) (2013) Dinámica, teoría y aplicaciones de fluidos topológicos . Kluwer.
- Ottino, J. (1989) La cinemática de la mezcla: estiramiento, caos y transporte . Cambridge Univ. Prensa. ISBN 9780521368780
- Parker, EN (1979) Campos magnéticos cósmicos: su origen y su actividad . Universidad de Oxford. Prensa. ISBN 9780198512905
- Ricca, RL (Ed.) (2009) Conferencias sobre mecánica de fluidos topológica . Springer-CIME Lecture Notes in Mathematics 1973 . Springer-Verlag. Heidelberg, Alemania. ISBN 9783642008368
- Stanley, GJ, 2019: Topología de superficie neutra . Ocean Modeling 138, 88-106.