En álgebra abstracta , un álgebra interior es un cierto tipo de estructura algebraica que codifica la idea del interior topológico de un conjunto. Las álgebras interiores son para la topología y la lógica modal S4 lo que las álgebras de Boole son para la teoría de conjuntos y la lógica proposicional ordinaria . Las álgebras interiores forman una variedad de álgebras modales .
es un álgebra booleana y el sufijo I designa un operador unario , el operador interior , que satisface las identidades:
El dual del operador interior es el operador de cierre C definido por x C = (( x ′) I ) ′. x C se llama cierre de x . Por el principio de dualidad , el operador de cierre satisface las identidades:
Si el operador de cierre se toma como primitivo, el operador interior se puede definir como x I = (( x ′) C ) ′. Así, la teoría de álgebra de interiores se puede formular usando el operador de cierre en lugar del operador interior, en cuyo caso se tiene en cuenta las álgebra de cierre de la forma ⟨ S , ·, +, ', 0, 1, C ⟩, donde ⟨ S , · , +, ′, 0, 1⟩ es nuevamente un álgebra booleana y C satisface las identidades anteriores para el operador de cierre. El cierre y las álgebras interiores forman dospares, y son ejemplos paradigmáticos de "álgebras de Boole con operadores". La literatura temprana sobre este tema (principalmente topología polaca) invocaba operadores de cierre, pero la formulación del operador interior finalmente se convirtió en la norma siguiendo el trabajo de Wim Blok .
Los elementos de un álgebra interior que satisfacen la condición x I = x se denominan abiertos . Los complementos de elementos abiertos se denominan cerrados y se caracterizan por la condición x C = x . El interior de un elemento siempre está abierto y el cierre de un elemento siempre está cerrado. Los interiores de elementos cerrados se denominan abiertos regulares y los cierres de elementos abiertos se denominan cerrados regulares . Los elementos que están abiertos y cerrados se denominan clopen . 0 y 1 están abiertos.
Un álgebra interior se llama booleana si todos sus elementos están abiertos (y por lo tanto, cerrados). Las álgebras interiores booleanas se pueden identificar con las álgebras booleanas ordinarias ya que sus operadores interiores y de cierre no proporcionan una estructura adicional significativa. Un caso especial es la clase de álgebras interiores triviales que son las álgebras interiores de un solo elemento caracterizadas por la identidad 0 = 1.