En el campo matemático de la geometría de Riemann , el teorema de Toponogov (llamado así por Victor Andreevich Toponogov ) es un teorema de comparación de triángulos. Es uno de una familia de teoremas de comparación que cuantifican la afirmación de que un par de geodésicas que emanan de un punto p se separan más lentamente en una región de alta curvatura de lo que lo harían en una región de baja curvatura.
Sea M una variedad riemanniana m -dimensional con una curvatura seccional K que satisface Sea pqr un triángulo geodésico , es decir, un triángulo cuyos lados son geodésicos, en M , tal que el pq geodésico es mínimo y si δ> 0 , la longitud del lado pr es menor que. Sea p ′ q ′ r ′ un triángulo geodésico en el espacio modelo M δ , es decir, el espacio simplemente conectado de curvatura constante δ, tal que la longitud de los lados p′q ′ y p′r ′ es igual a la de pq y pr respectivamente y el ángulo en p ′ es igual al de p . Luego
Cuando la curvatura de la sección está acotada desde arriba, un corolario del teorema de comparación de Rauch produce una declaración análoga, pero con la desigualdad inversa [ cita requerida ] .
Referencias
- Chavel, Isaac (2006), geometría riemanniana; Una introducción moderna (segunda ed.), Cambridge University Press
- Berger, Marcel (2004), Una vista panorámica de la geometría de Riemann , Springer-Verlag, ISBN 3-540-65317-1
- Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008), teoremas de comparación en geometría riemanniana , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4417-5, MR 2394158