En la geometría de Riemann , el teorema de comparación de Rauch , que lleva el nombre de Harry Rauch, quien lo demostró en 1951, es un resultado fundamental que relaciona la curvatura seccional de una variedad de Riemann con la velocidad a la que las geodésicas se separan. De manera intuitiva, afirma que para la curvatura positiva, las geodésicas tienden a converger, mientras que para la curvatura negativa, las geodésicas tienden a extenderse. Este teorema se formula utilizando campos de Jacobi para medir la variación en geodésicas.
Dejar
ser variedades riemannianas, sea
y
Ser segmentos geodésicos de velocidad unitaria tales que
no tiene puntos conjugados a lo largo
, y deja
ser campos de Jacobi normales a lo largo de
y
tal que
y
. Suponga que las curvaturas seccionales de
y
satisfacer
cuando sea
es un plano de 2 que contiene
y
es un plano de 2 que contiene
. Luego
para todos
.