En geometría algebraica , una variedad tórica o incrustación de toro es una variedad algebraica que contiene un toro algebraico como un subconjunto denso abierto , de modo que la acción del toro sobre sí mismo se extiende a toda la variedad. Algunos autores también exigen que sea normal . Las variedades tóricas forman una clase importante y rica de ejemplos en geometría algebraica, que a menudo proporcionan un campo de prueba para teoremas. La geometría de una variedad tórica está completamente determinada por la combinatoriade su ventilador asociado, lo que a menudo hace que los cálculos sean mucho más manejables. Para una determinada clase especial, pero todavía bastante general, de variedades tóricas, esta información también se codifica en un politopo, lo que crea una conexión poderosa del sujeto con la geometría convexa. Los ejemplos familiares de variedades tóricas son el espacio afín , los espacios proyectivos, los productos de los espacios proyectivos y los paquetes sobre el espacio proyectivo .
La motivación original para estudiar las variedades tóricas fue estudiar las incrustaciones de toros. Dado el toro algebraico T , el grupo de caracteres Hom ( T , C x ) forma una red. Dada una colección de puntos A , un subconjunto de esta celosía, cada punto determina un mapa hacia C y, por lo tanto, la colección determina un mapa hacia C | A | . Tomando el cierre de Zariski de la imagen de tal mapa, se obtiene una variedad afín. Si la colección de puntos de celosía Agenera la celosía de carácter, esta variedad es una incrustación de toro. De manera similar, se puede producir una variedad tórica proyectiva parametrizada, tomando el cierre proyectivo del mapa anterior, viéndolo como un mapa en un parche afín del espacio proyectivo.
Dada una variedad tórica proyectiva, observe que podemos probar su geometría por subgrupos de un parámetro. Cada subgrupo de un parámetro, determinado por un punto en la celosía, dual a la celosía de caracteres, es una curva perforada dentro de la variedad tórica proyectiva. Dado que la variedad es compacta, esta curva perforada tiene un punto límite único. Por lo tanto, al dividir la red del subgrupo de un parámetro por los puntos límite de las curvas perforadas, obtenemos un abanico de red, una colección de conos racionales poliédricos. Los conos de mayor dimensión corresponden precisamente a los puntos fijos del toro, los límites de estas curvas perforadas.
Suponga que N es un grupo abeliano libre de rango finito . Un cono poliédrico racional fuertemente convexo en N es un cono convexo (del espacio vectorial real de N ) con vértice en el origen, generado por un número finito de vectores de N , que no contiene ninguna línea que pase por el origen. Estos se llamarán "conos" para abreviar.
Para cada cono σ, su variedad tórica afín U σ es el espectro del álgebra de semigrupo del cono dual .
La variedad tórica de un abanico se obtiene tomando las variedades tóricas afines de sus conos y uniéndolas identificando U σ con una subvariedad abierta de U τ siempre que σ sea una cara de τ. Por el contrario, todo abanico de conos racionales fuertemente convexos tiene asociada una variedad tórica.