Momento toroidal

Un momento toroidal es un término independiente en la expansión multipolar de campos electromagnéticos además de los multipolares magnéticos y eléctricos . En la expansión multipolar electrostática, todas las distribuciones de carga y corriente se pueden expandir en un conjunto completo de coeficientes multipolares eléctricos y magnéticos. Sin embargo, surgen términos adicionales en una expansión multipolar electrodinámica. Los coeficientes de estos términos vienen dados por los momentos multipolares toroidales, así como por las derivadas temporales de los momentos multipolares eléctricos y magnéticos. Mientras que los dipolos eléctricos pueden entenderse como cargas separadas y dipolos magnéticoscomo corrientes circulares, los dipolos toroidales axiales (o eléctricos) describen disposiciones de carga toroidal, mientras que el dipolo toroidal polar (o magnético) (también llamado anapolar ) corresponde al campo de un solenoide doblado en un toro .

Momento dipolar toroidal clásico

Una expresión compleja permite escribir la densidad de corriente J como una suma de momentos eléctricos, magnéticos y toroidales utilizando operadores diferenciales cartesianos ^[1] o esféricos ^[2] . El término toroidal de menor orden es el dipolo toroidal. Su magnitud a lo largo de la dirección i viene dada por

${\displaystyle T_{i}={\frac {1}{10c}}\int [r_{i}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {J} )-2r^{2}J_{i}]\mathrm {d} ^{3}x.}$

Dado que este término surge solo en una expansión de la densidad de corriente a segundo orden, generalmente desaparece en una aproximación de longitud de onda larga.

Sin embargo, un estudio reciente llega al resultado de que los momentos multipolares toroidales no son una familia multipolar separada, sino términos de orden superior de los momentos multipolares eléctricos. ^[3]

Momento dipolar toroidal cuántico

En 1957, Yakov Zel'dovich descubrió que debido a que la interacción débil viola la simetría de paridad , una partícula de Dirac de espín  1 ⁄ 2 debe tener un momento dipolar toroidal, también conocido como momento anapole, además de los dipolos eléctricos y magnéticos habituales. ^[4] La interacción de este término se entiende más fácilmente en el límite no relativista, donde el hamiltoniano es

ℋ ∝ −𝑑 (𝜎⋅𝐄) - 𝜇 (𝜎⋅𝐁) - 𝑎 (𝜎⋅∇⨯𝐁)

donde d , μ y a son los momentos eléctrico, magnético y anapolar, respectivamente, y σ es el vector de matrices de Pauli . ^[5]

El momento toroidal nuclear del cesio fue medido en 1997 por Wood et al. . ^[6]

Corrientes de solenoide j (azul) que inducen un momento magnético toroidal (rojo).

Propiedades de simetría de los momentos dipolares

Todos los momentos dipolares son vectores que pueden distinguirse por sus diferentes simetrías bajo inversión espacial (P: r ↦ - r ) e inversión temporal (T: t ↦ - t ). O el momento dipolar permanece invariante bajo la transformación de simetría ("+1") o cambia su dirección ("−1"):

Momento bipolar	PAG	T
momento dipolar toroidal axial	+1	+1
momento dipolar eléctrico	−1	+1
momento dipolar magnético	+1	−1
momento dipolar toroidal polar	−1	−1

Momentos toroidales magnéticos en la física de la materia condensada

En la materia condensada, el orden toroidal magnético puede ser inducido por diferentes mecanismos: ^[7]

• Orden de espines localizados que rompen la inversión espacial y la inversión temporal. El momento toroidal resultante se describe mediante una suma de productos cruzados de los espines S _i de los iones magnéticos y sus posiciones r _i dentro de la celda unitaria magnética: ^[8] T = ∑ _i  r _i  ×  S _i
• Formación de vórtices por momentos magnéticos deslocalizados.
• Corrientes orbitales in situ (como las que se encuentran en el CuO multiferroico ). ^[9]
• Se han propuesto corrientes de bucle orbital en superconductores de óxidos de cobre ^[10] que podrían ser importantes para comprender la superconductividad de alta temperatura . Se ha reivindicado la verificación experimental de la ruptura de simetría por tales corrientes orbitales en cupratos mediante dispersión de neutrones polarizados. ^[11]

Momento toroidal magnético y su relación con el efecto magnetoeléctrico

La presencia de un momento dipolar toroidal magnético T en la materia condensada se debe a la presencia de un efecto magnetoeléctrico : la aplicación de un campo magnético H en el plano de un solenoide toroidal conduce a través de la fuerza de Lorentz a una acumulación de bucles de corriente y, por lo tanto, a una polarización eléctrica perpendicular tanto T y H . La polarización resultante tiene la forma P _i = ε _ijk T _j H _k (siendo ε el símbolo de Levi-Civita ). El tensor magnetoeléctrico resultantedescribir la respuesta con correlación cruzada es, por tanto, antisimétrico .

Ferrotoroidicidad en la física de la materia condensada

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Una transición de fase a un orden espontáneo de largo alcance de momentos toroidales magnéticos microscópicos se ha denominado "ferrotoroidicidad". Se espera que llene los esquemas de simetría de los ferroicos primarios (transiciones de fase con ruptura espontánea de simetría puntual) con un parámetro de orden macroscópico impar en el espacio y en el tiempo. Un material ferrotoroídico exhibiría dominios que podrían conmutarse mediante un campo apropiado, por ejemplo, un rizo de campo magnético. Ambas propiedades distintivas de un estado ferroico se han demostrado en un sistema de modelo ferrotoroídico artificial basado en una matriz nanomagnética ^[12]

La existencia de ferrotoroidicidad todavía está en debate y aún no se han presentado pruebas claras, principalmente debido a la dificultad para distinguir la ferrotoroidicidad del orden antiferromagnético , ya que ambos no tienen magnetización neta y la simetría del parámetro de orden es la misma.

Materia oscura anapole

Todos CPT auto-conjugadas partículas, en particular el fermion Majorana , están prohibidos de tener cualquier momentos multipolares distintos momentos toroidales. ^[13] A nivel de árbol, ^{[ aclaración necesaria ]} una partícula sólo anapolar interactúa sólo con corrientes externas, no con campos electromagnéticos de espacio libre, y la sección transversal de interacción disminuye a medida que la velocidad de la partícula disminuye. Por esta razón, se ha sugerido que los fermiones pesados ​​de Majorana son candidatos plausibles para la materia oscura fría . ^{[14] [15]}

Referencias

1. Radescu, E., Jr .; Vaman, G. (2012), "Expansiones multipolares cartesianas e identidades tensoriales", Progress in Electromagnetics Research B , 36 : 89-111, doi : 10.2528 / PIERB11090702
2. Dubovik, VM; Tugushev, VV (marzo de 1990), "Momentos toroides en electrodinámica y física del estado sólido", Physics Reports , 187 (4): 145-202, Bibcode : 1990PhR ... 187..145D , doi : 10.1016 / 0370-1573 (90) 90042-Z
3. I. Fernandez-Corbaton et al .: Sobre los multipolares toroidales dinámicos de distribuciones de corriente eléctrica localizadas . Scientific Reports, 8 de agosto de 2017
4. Zel'dovich, Ya. B. (1957), "No conservación de la paridad en el primer orden en la constante de interacción débil en la dispersión de electrones y otros efectos", Zh. Eksp. Teor. Fiz. , 33 : 1531 [JETP 6, 1184 (1957)].
5. Dubovik, VM; Kuznetsov, VE (1998), "El momento toroide del neutrino Majorana", Int. J. Mod. Phys. A , 13 (30): 5257–5278, arXiv : hep-ph / 9606258 , Bibcode : 1998IJMPA..13.5257D , doi : 10.1142 / S0217751X98002419 , S2CID 14925303 
6. Wood, CS (1997), "Medición de no conservación de paridad y un momento anapole en cesio", Science , 275 (5307): 1759-1763, doi : 10.1126 / science.275.5307.1759 , PMID 9065393 , S2CID 16320428  .
7. Spaldin, Nicola A .; Fiebig, Manfred; Mostovoy, Maxim (2008), "El momento toroidal en la física de la materia condensada y su relación con el efecto magnetoeléctrico" (PDF) , Journal of Physics: Condensed Matter , 20 (43): 434203, Bibcode : 2008JPCM ... 20Q4203S , doi : 10.1088 / 0953-8984 / 20/43/434203 .
8. Ederer, Claude; Spaldin, Nicola A. (2007), "Hacia una teoría microscópica de momentos toroidales en cristales periódicos a granel", Physical Review B , 76 (21): 214404, arXiv : 0706.1974 , Bibcode : 2007PhRvB..76u4404E , doi : 10.1103 / physrevb .76.214404 , S2CID 55003368 .
9. Scagnoli, V .; Staub, U .; Bodenthin, Y .; de Souza, RA; García-Fernández, M .; Garganourakis, M .; Boothroyd, AT; Prabhakaran, D .; Lovesey, SW (2011), "Observación de corrientes orbitales en CuO", Science , 332 (6030): 696–698, Bibcode : 2011Sci ... 332..696S , doi : 10.1126 / science.1201061 , PMID 21474711 , S2CID 206531474  .
10. Varma, CM (2006), "Theory of the pseudogap state of the cuprates", Physical Review B , 73 (15): 155113, arXiv : cond-mat / 0507214 , Bibcode : 2006PhRvB..73o5113V , doi : 10.1103 / physrevb .73.155113 , S2CID 119370367 .
11. Fauqué, B .; Sidis, Y .; Hinkov, V .; Pailhès, S .; Lin, CT; Chaud, X .; Bourges, P. (2006), "Orden magnético en la fase pseudogap de superconductores de alta T _C ", Phys. Rev. Lett. , 96 (19): 197001, arXiv : cond-mat / 0509210 , Bibcode : 2006PhRvL..96s7001F , doi : 10.1103 / physrevlett.96.197001 , PMID 16803131 , S2CID 17857703  .
12. Lehmann, Jannis; Donnelly, Claire; Derlet, Peter M .; Heyderman, Laura J .; Fiebig, Manfred (2019), "Poling of an artificial magneto-toroidal crystal", Nature Nanotechnology , 14 (2): 141–144, doi : 10.1038 / s41565-018-0321-x , PMID 30531991 , S2CID 54474479  .
13. Boudjema, F .; Hamzaoui, C .; Rahal, V .; Ren, HC (1989), "Propiedades electromagnéticas de partículas de Majorana generalizadas", Phys. Rev. Lett. , 62 (8): 852–854, Bibcode : 1989PhRvL..62..852B , doi : 10.1103 / PhysRevLett.62.852 , PMID 10040354 
14. Ho, CM; Scherrer, RJ (2013), "Materia oscura de Anapole", Phys. Letón. B , 722 (8): 341–346, arXiv : 1211.0503 , Bibcode : 2013PhLB..722..341H , doi : 10.1016 / j.physletb.2013.04.039 , S2CID 15472526 
15. "Una teoría nueva y simple puede explicar la misteriosa materia oscura"

Literatura

• Stefan Nanz: Momentos multipolares toroidales en electrodinámica clásica . Springer 2016. ISBN 978-3-658-12548-6