En el procesamiento de señales, la eliminación de ruido de la variación total , también conocida como regularización de la variación total , es un proceso, más utilizado en el procesamiento de imágenes digitales , que tiene aplicaciones en la eliminación de ruido. Se basa en el principio de que las señales con detalles excesivos y posiblemente falsos tienen una alta variación total , es decir, la integral del gradiente absoluto de la señal es alta. De acuerdo con este principio, la reducción de la variación total de la señal, siempre que sea una coincidencia cercana a la señal original, elimina los detalles no deseados al tiempo que conserva detalles importantes como los bordes. El concepto fue promovido por Rudin, Osher y Fatemi en 1992, por lo que hoy se conoce como modelo ROF .[1]
Esta técnica de eliminación de ruido tiene ventajas sobre técnicas simples como el suavizado lineal o el filtrado medio que reducen el ruido pero al mismo tiempo suavizan los bordes en mayor o menor grado. Por el contrario, la eliminación de ruido de la variación total es notablemente eficaz para preservar simultáneamente los bordes y suavizar el ruido en las regiones planas, incluso con relaciones bajas de señal a ruido. [2]
Serie de señales 1D
Para una señal digital , podemos, por ejemplo, definir la variación total como
Dada una señal de entrada , el objetivo de la eliminación de ruido de la variación total es encontrar una aproximación, llámelo , que tiene una variación total menor que pero está "cerca" de . Una medida de cercanía es la suma de errores cuadrados:
Entonces, el problema de eliminación de ruido de variación total equivale a minimizar el siguiente funcional discreto sobre la señal :
Al diferenciar este funcional con respecto a , podemos derivar una ecuación de Euler-Lagrange correspondiente , que se puede integrar numéricamente con la señal originalcomo condición inicial. Este fue el enfoque original. [1] Alternativamente, dado que se trata de una función convexa , se pueden utilizar técnicas de optimización convexa para minimizarla y encontrar la solución.. [3]
Propiedades de regularización
El parámetro de regularizaciónjuega un papel fundamental en el proceso de eliminación de ruido. Cuándo, no hay suavizado y el resultado es el mismo que minimizar la suma de cuadrados. ComoSin embargo, el término de variación total juega un papel cada vez más importante, lo que obliga al resultado a tener una variación total menor, a expensas de ser menos parecido a la señal de entrada (ruidosa). Por lo tanto, la elección del parámetro de regularización es fundamental para lograr la cantidad justa de eliminación de ruido.
Imágenes de señal 2D
Ahora consideramos señales 2D y , como imágenes. La norma de variación total propuesta por el artículo de 1992 es
y es isotrópico y no diferenciable . Una variación que se usa a veces, ya que a veces puede ser más fácil de minimizar, es una versión anisotrópica.
El problema estándar de eliminación de ruido de variación total sigue siendo de la forma
donde E es la norma 2D L 2 . En contraste con el caso de 1D, resolver esta eliminación de ruido no es trivial. Un algoritmo reciente que resuelve esto se conoce como el método dual primario . [4]
Debido en parte a mucha investigación en detección comprimida a mediados de la década de 2000, existen muchos algoritmos, como el método split- Bregman , que resuelven variantes de este problema.
Rudin – Osher – Fatemi PDE
Supongamos que se nos da una imagen ruidosa y desea calcular una imagen sin ruido sobre un espacio 2D. ROF mostró que el problema de minimización que buscamos resolver es: [5]
dónde es el conjunto de funciones con variación acotada sobre el dominio, es la variación total sobre el dominio, y es un término de penalización. Cuándo es suave, la variación total es equivalente a la integral de la magnitud del gradiente:
dónde es la norma euclidiana . Entonces la función objetivo del problema de minimización se convierte en:
Aplicaciones
El modelo de Rudin-Osher-Fatemi fue un componente fundamental en la producción de la primera imagen de un agujero negro . [6]
Ver también
Referencias
- ^ a b c Rudin, LI; Osher, S .; Fatemi, E. (1992). "Algoritmos de eliminación de ruido basados en variación total no lineal". Physica D . 60 (1–4): 259–268. Código Bibliográfico : 1992PhyD ... 60..259R . CiteSeerX 10.1.1.117.1675 . doi : 10.1016 / 0167-2789 (92) 90242-f .
- ^ Fuerte, D .; Chan, T. (2003). "Propiedades de conservación de bordes y dependientes de la escala de la regularización de variación total". Problemas inversos . 19 (6): S165 – S187. Código Bibliográfico : 2003InvPr..19S.165S . doi : 10.1088 / 0266-5611 / 19/6/059 .
- ^ a b Little, MA; Jones, Nick S. (2010). "Filtrado escalonado bayesiano disperso para análisis de alto rendimiento de la dinámica de la máquina molecular" (PDF) . Actas de ICASSP 2010 . 2010 IEEE International Conference on Acustics, Speech and Signal Processing.
- ^ Chambolle, A. (2004). "Un algoritmo para la minimización total de variaciones y aplicaciones". Revista de Visión y Imágenes Matemáticas . 20 : 89–97. CiteSeerX 10.1.1.160.5226 . doi : 10.1023 / B: JMIV.0000011325.36760.1e .
- ^ Getreuer, Pascal (2012). "Rudin-Osher-Fatemi Total Variation Denoising usando Split Bregman" (PDF) .
- ^ "El modelo Rudin-Osher-Fatemi captura el infinito y más allá" . IPAM . 2019-04-15 . Consultado el 4 de agosto de 2019 .
enlaces externos
- TVDIP: Implementación de eliminación de ruido de variación total de Matlab 1D con todas las funciones.
- Variación total primaria-dual eficiente
- Algoritmo de eliminación de ruido de imágenes TV-L1 en Matlab