espacio conectado

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio conectado es un espacio topológico que no se puede representar como la unión de dos o más subconjuntos abiertos no vacíos disjuntos . La conectividad es una de las principales propiedades topológicas que se utilizan para distinguir los espacios topológicos.

Un subconjunto de un espacio topológico X es unconjunto conexo si es un espacio conexo visto como unsubespaciodeX.

Algunas condiciones relacionadas pero más fuertes son la ruta conectada , simplemente conectada y n-conectada . Otra noción relacionada es la de conexión local , que no implica ni se deriva de la conexión.

Se dice que un espacio topológico X esdesconectado si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. En caso contrario,Xesconexo. Sesubconjuntode un espacio topológico está conectado si está conectado bajo su topología de subespacio. Algunos autores excluyen elconjunto vacío(con su topología única) como espacio conexo, pero este artículo no sigue esa práctica.

Históricamente, esta formulación moderna de la noción de conexión (en términos de no partición de X en dos conjuntos separados) apareció por primera vez (independientemente) con NJ Lennes, Frigyes Riesz y Felix Hausdorff a principios del siglo XX. Ver ^[1] para más detalles.

Dado algún punto en un espacio topológico la unión de cualquier colección de subconjuntos conexos tal que cada uno contenga será nuevamente un subconjunto conexo. los${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización X,}$${\ estilo de visualización x}$componente conexa de un punto enes la unión de todos los subconjuntos conexos deque lo contienenes el único subconjunto conexo más grande (con respecto a) deque contiene Losmáximos(ordenados porinclusión) de un espacio topológico no vacío se denominan${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización x;}$${\displaystyle \subseteq}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización x.}$ ${\displaystyle \subseteq}$componentes conectadas delespacio. Los componentes de cualquier espacio topológicoforman unaparticiónde : sondisjuntos, no vacíos y su unión es el espacio total. Cada componente es unsubconjunto cerradodel espacio original. De ello se deduce que, en el caso de que su número sea finito, cada componente es también un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, este podría no ser el caso; por ejemplo, las componentes conexas del conjunto de losnúmeros racionalesson los conjuntos de un punto (singletons), que no son abiertos. Prueba: Cualquier dos números racionales distintosestán en diferentes componentes. Tome un número irracionaly luego establezca${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización X}$${\displaystyle q_{1}<q_{2}}$${\displaystyle q_{1}<r<q_{2},}$${\displaystyle A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}}$y Entonces es una separación de y . Por lo tanto, cada componente es un conjunto de un punto.${\displaystyle B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.}$${\ estilo de visualización (A, B)}$${\ estilo de visualización \ mathbb {Q},}$${\displaystyle q_{1}\en A,q_{2}\en B}$

Subespacios conexos y desconectados de R²

Este subespacio de R ² está conectado por caminos, porque se puede dibujar un camino entre dos puntos cualesquiera del espacio.

La curva sinusoidal del topólogo está conectada, pero no está conectada localmente

Ejemplos de uniones e intersecciones de conjuntos conectados

Dos conjuntos conexos cuya diferencia no es conexa